《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

3. 如图所示，点$M$是$\angle AOB$（$\angle AOB$为锐角）内部的一点。请你在边$OA$和边$OB$上分别找到点$P$，$Q$，使得$\triangle MPQ$的周长最小。

答案：
解：如图，作点M关于OA的对称点M'，点M关于OB的对称点M"，连接M'M"，交OA于点P，交OB于点Q，此时△MPQ的周长最小.
　　　　　　

4. 如图，点$M$，$N$分别是边$OA$，$OB$上的定点，点$P$，$Q$分别是边$OB$，$OA$上的动点，当$MP + PQ + QN$最小时，作图找出点$P$，$Q$的位置。

答案：
解：如图，作点M关于OB的对称点E，作点N关于OA的对称点F，连接EF，交OB于点P，交OA于点Q，则点P，Q就是要求作的点.
　　　　　

5. 某重型机械厂旁边有长江和长江支流（如图，假设长江和长江支流的两岸是分别平行的直线），现要在长江和长江支流建两座大桥，大桥必须与长江江堤和长江支流的江堤垂直，使$A$地人经过两座桥到达$B$地的路径最短，两座桥应建在何处？

答案：
解：如图.过点A作长江江堤的垂线，截取AA'等于长江的宽，过点B作长江支流江堤的垂线，截取BB'等于长江支流的宽，连接A'B'，交长江江堤于点C，交长江支流江堤于点D，过点C作长江江堤的垂线，垂足为E，过点D作长江支流江堤的垂线，垂足为F，CE和DF处即为两座大桥所在的位置.
　　　

6. 已知点$P$在$\angle MON$内。
(1)如图①，点$P$关于射线$OM$的对称点是$G$，关于射线$ON$的对称点是$H$，连接$OG$，$OH$，$OP$。若$\angle MON = 50^{\circ}$，则$\angle GOH=$100°；
(2)如图②，若$\angle MON = 60^{\circ}$，$A$，$B$分别是射线$OM$，$ON$上的任意一点，当$\triangle PAB$的周长最小时，求$\angle APB$的度数。

答案： 解：
(1)100°　
(2)60°.