《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

如图①所示，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形。
问题1：图①中的阴影部分的面积可表示为$a^{2}-b^{2}$。
问题2：把图①中的阴影部分分割拼成一个长方形，如图②，图②中的阴影部分的面积可表示为$(a+b)(a-b)$。
问题3：根据“图②中的阴影面积等于图①中的阴影面积”能得到的等式是$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。
问题4：如何证明问题3的等式？

答案： 问题1:$a^{2}-b^{2}$
问题2:$(a+b)(a-b)$
问题3:$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
问题4:$(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$.

平方差公式
(1)式子表示：$(a + b)(a - b) =$$a^{2}-b^{2}$。
(2)语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}$
(2)和 差 平方差

突破点一 平方差公式
【例1】计算：
（1）$(2x - 3y)(2x + 3y)$；
（2）$(2m^{2} + n^{2})(2m^{2} - n^{2})$；
（3）$(-3a - 4b)(-3a + 4b)$；
（4）$(1 - 5n)(1 + 5n) - (n - 1)(n + 1)$。
解：
【规律方法】
（1）在应用平方差公式时，要分清是哪两个数的和与差相乘，即明确哪些数分别代表平方差公式中的 $a$，$b$。
（2）虽然某些形式的式子无法直接应用平方差公式，但通过加减或乘法的交换律、结合律进行适当变形后，也可以应用平方差公式。

答案： 1. （1）
解：根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，在$(2x - 3y)(2x + 3y)$中，$a = 2x$，$b = 3y$。
则$(2x - 3y)(2x + 3y)=(2x)^{2}-(3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$。
2. （2）
解：在$(2m^{2}+n^{2})(2m^{2}-n^{2})$中，$a = 2m^{2}$，$b = n^{2}$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则$(2m^{2}+n^{2})(2m^{2}-n^{2})=(2m^{2})^{2}-(n^{2})^{2}=4m^{4}-n^{4}$。
3. （3）
解：在$(-3a - 4b)(-3a + 4b)$中，$a=-3a$，$b = 4b$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则$(-3a - 4b)(-3a + 4b)=(-3a)^{2}-(4b)^{2}=9a^{2}-16b^{2}$。
4. （4）
解：
对于$(1 - 5n)(1 + 5n)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 1$，$b = 5n$，所以$(1 - 5n)(1 + 5n)=1^{2}-(5n)^{2}=1 - 25n^{2}$。
对于$(n - 1)(n + 1)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = n$，$b = 1$，所以$(n - 1)(n + 1)=n^{2}-1$。
则$(1 - 5n)(1 + 5n)-(n - 1)(n + 1)=(1 - 25n^{2})-(n^{2}-1)$。
去括号得$1 - 25n^{2}-n^{2}+1$。
合并同类项得$(1 + 1)+(-25n^{2}-n^{2})=2-26n^{2}$。
综上，（1）$4x^{2}-9y^{2}$；（2）$4m^{4}-n^{4}$；（3）$9a^{2}-16b^{2}$；（4）$2 - 26n^{2}$。

1. 下列式子中，不能用平方差公式计算的是(D)

A.$(x^{3} - y^{3})(x^{3} + y^{3})$
B.$(c^{2} - d^{2})(d^{2} + c^{2})$
C.$(-a - b)(a - b)$
D.$(m - n)(-m + n)$

答案： D