《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

4. 如图，已知 AC//BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，点 E 在直线 CD 上。
求证：AB = AC + BD。
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答案：
证明:方法一(截长法):如图①,在$AB$上截取$AF = AC$，连接$EF$．
因为$AE$平分$\angle CAB$，所以$\angle 1 = \angle 2$．
在$\triangle ACE$和$\triangle AFE$中，$\begin{cases} AC = AF, \\ \angle 1 = \angle 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
所以$\triangle ACE \cong \triangle AFE(SAS)$．
所以$\angle C = \angle 5$．
因为$AC // BD$，所以$\angle C + \angle D = 180^{\circ}$．
因为$\angle 5 + \angle 6 = 180^{\circ}$，
所以$\angle D = \angle 6$．
因为$BE$平分$\angle DBA$，所以$\angle 3 = \angle 4$．
在$\triangle BEF$和$\triangle BED$中，$\begin{cases} \angle 6 = \angle D, \\ \angle 3 = \angle 4, \\ BE = BE, \end{cases}$
所以$\triangle BEF \cong \triangle BED(AAS)$．
所以$BF = BD$．
所以$AF + BF = AC + BD$，即$AB = AC + BD$．

方法二(补短法):如图②,延长$AC$至点$F$，使$AF = AB$，连接$EF$．
因为$AE$平分$\angle CAB$，所以$\angle 1 = \angle 2$．
在$\triangle AEF$和$\triangle AEB$中，$\begin{cases} AF = AB, \\ \angle 1 = \angle 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
所以$\triangle AEF \cong \triangle AEB(SAS)$．
所以$EF = EB$，$\angle F = \angle 3$．
因为$BE$平分$\angle DBA$，
所以$\angle 3 = \angle 4$，
所以$\angle F = \angle 4$．
因为$AC // BD$，
所以$\angle 5 = \angle D$．
在$\triangle CEF$和$\triangle DEB$中，$\begin{cases} \angle F = \angle 4, \\ \angle 5 = \angle D, \\ EF = EB, \end{cases}$
所以$\triangle CEF \cong \triangle DEB(AAS)$．
所以$CF = DB$．
因为$AB = AF = AC + CF$，
所以$AB = AC + BD$．

5. 如图，AD，BC 相交于点 F，AB = AD，AC = AE，∠1 = ∠2 = 35°。若 AB//ED，则∠BFD 的度数是(B)


A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

答案： B

6. 在△ABC 中，AB = AC，点 P 是平面内一点，将 AP 绕点 A 顺时针旋转至 AQ，使∠QAP = ∠BAC，连接 BQ，CP。
（1）如图①，若点 P 在△ABC 的内部，试说明 BQ = CP。
（2）如图②，若点 P 在△ABC 的外部，以上结论还成立吗？请说明理由。
图① 图②

答案： （1）因为$\angle QAP = \angle BAC$，
所以$\angle QAP - \angle BAP = \angle BAC - \angle BAP$，即$\angle QAB = \angle PAC$．
另外由旋转,得$AQ = AP$．
在$\triangle AQB$和$\triangle APC$中，
$\begin{cases} AQ = AP, \\ \angle QAB = \angle PAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
所以$\triangle AQB \cong \triangle APC(SAS)$．
所以$BQ = CP$．
（2）成立.理由如下:
因为$\angle QAP = \angle BAC$，
所以$\angle QAP + \angle BAP = \angle BAC + \angle BAP$，即$\angle QAB = \angle PAC$．
另外由旋转，得$AQ = AP$．
在$\triangle AQB$和$\triangle APC$中，
$\begin{cases} AQ = AP, \\ \angle QAB = \angle PAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
所以$\triangle AQB \cong \triangle APC(SAS)$．
所以$BQ = CP$．