《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

用完全平方公式分解因式
(1) 式子表示：$a^2 + 2ab + b^2 =$$(a + b)^{2}$，$a^2 - 2ab + b^2 =$$(a - b)^{2}$。
(2) 语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。

答案：
(1)$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$；
(2)积的2倍，和(或差)的平方

【例1】分解因式：
(1) $1 - 16y^2$；
(2) $4a^4 - 9b^2$；
(3) $16(m - 2n)^2 - (2m + 3n)^2$。
解：
【规律方法】
用平方差公式分解因式的一般步骤
第一步：观察多项式的特点，确定$a$和$b$。
第二步：把多项式的两项分别写成两个数（或式子）的平方。
第三步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式。
第四步：因式分解的结果能化简的要进行化简。

答案： 1. 对于$1 - 16y^{2}$：
解：
第一步：这里$a = 1$，$b = 4y$。
第二步：$1-16y^{2}=1^{2}-(4y)^{2}$。
第三步：根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$1^{2}-(4y)^{2}=(1 + 4y)(1-4y)$。
2. 对于$4a^{4}-9b^{2}$：
解：
第一步：$a = 2a^{2}$，$b = 3b$。
第二步：$4a^{4}-9b^{2}=(2a^{2})^{2}-(3b)^{2}$。
第三步：根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$(2a^{2})^{2}-(3b)^{2}=(2a^{2}+3b)(2a^{2}-3b)$。
3. 对于$16(m - 2n)^{2}-(2m + 3n)^{2}$：
解：
第一步：$a = 4(m - 2n)$，$b=(2m + 3n)$。
第二步：$16(m - 2n)^{2}-(2m + 3n)^{2}=[4(m - 2n)]^{2}-(2m + 3n)^{2}$。
第三步：根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$[4(m - 2n)]^{2}-(2m + 3n)^{2}=[4(m - 2n)+(2m + 3n)][4(m - 2n)-(2m + 3n)]$。
第四步：化简$[4(m - 2n)+(2m + 3n)][4(m - 2n)-(2m + 3n)]=(4m-8n + 2m + 3n)(4m-8n-2m - 3n)=(6m - 5n)(2m-11n)$。
综上，
(1)的结果为$(1 + 4y)(1-4y)$；
(2)的结果为$(2a^{2}+3b)(2a^{2}-3b)$；
(3)的结果为$(6m - 5n)(2m-11n)$。

1. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是(B)

A.$y^2 - 49x^2$
B.$-\frac{1}{49} - x^4$
C.$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9$
D.$-m^4 + n^2$

答案： 1.B

2. 分解因式：$9(a + b)^2 - (a - b)^2$。

答案： 2.解：原式=$4(2a + b)(a + 2b)$.

【例2】分解因式：
(1) $9x^2 - 6x + 1$；
(2) $4a^2 + 4ab + b^2$；
(3) $(m - 2n)^2 - 4(m - 2n) + 4$。
解：
【规律方法】
用完全平方公式分解因式的一般步骤
第一步：观察多项式的特点，确定$a$和$b$。
第二步：把多项式写成$a^2 \pm 2ab + b^2$的形式。
第三步：因式分解成$(a \pm b)^2$的形式。
第四步：因式分解的结果能化简的要进行化简。

答案： 解：
(1)原式=$(3x - 1)^{2}$.
(2)原式=$(2a + b)^{2}$.
(3)原式=$(m - 2n - 2)^{2}$.