《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

(1) $5^{4}×(5^{20}) = 5^{24}$；
(2) 根据(1)的计算，可得 $5^{24}÷5^{4} =$5^{20}。
问题 1：完成上述各式。
问题 2：同底数幂相除，底数和指数如何变化？

答案： 问题1：$(1)5^{20} (2)5^{20}$
问题2：底数不变，指数相减.

同底数幂的除法法则
(1) 式子表示：$a^{m}÷a^{n} =$a^{m - n}($a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$)。
(2) 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
学习任务二 零指数幂的意义
(1) 式子表示：$a^{0} =$1($a≠0$)。
(2) 语言叙述：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于1。
学习任务三 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

答案： $(1)a^{m - n} (2)$不变 相减
(1)1
(2)1
系数 同底数幂 指数

  学习任务四 多项式除以单项式
1. 多项式除以单项式的思路
把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题来解决。
2. 多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

答案： 1.单项式 2.每一项 相加

突破点一 同底数幂的除法
例 1 计算：(1) $m^{15}÷m^{3}$；
(2) $(-xy)^{8}÷(-xy)^{2}$；
(3) $y^{m + 4}÷y^{2}$；
(4) $(x - y)^{16}÷(y - x)^{4}$；
(5) $a^{2}·a^{4}+(-2a^{2})^{3}+a^{8}÷a^{2}$。
解：
【规律方法】
(1) 在运用同底数幂的除法法则时，如果底数不相同，那么要先化为同底数幂，再计算。
(2) 当底数是负数时，要牢记“负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数”。
(3) 三个或三个以上的同底数幂相除也适用这一法则，即 $a^{m}÷a^{n}÷…÷a^{p}=a^{m - n -… - p}$ ($a≠0$，$m$，$n$，…，$p$都是正整数，$m＞n +… + p$)。

答案： 1. （1）
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，对于$m^{15}÷ m^{3}$，这里$a = m$，$m = 15$，$n = 3$。
则$m^{15}÷ m^{3}=m^{15 - 3}=m^{12}$。
2. （2）
对于$(-xy)^{8}÷(-xy)^{2}$，把$-xy$看作一个整体，根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，这里$a=-xy$，$m = 8$，$n = 2$。
则$(-xy)^{8}÷(-xy)^{2}=(-xy)^{8 - 2}=(-xy)^{6}$。
根据积的乘方$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，$(-xy)^{6}=(-1)^{6}x^{6}y^{6}=x^{6}y^{6}$。
3. （3）
对于$y^{m + 4}÷ y^{2}$，根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，这里$a = y$，$m=m + 4$，$n = 2$。
则$y^{m + 4}÷ y^{2}=y^{(m + 4)-2}=y^{m+2}$。
4. （4）
因为$(y - x)^{4}=[-(x - y)]^{4}=(x - y)^{4}$（根据$(-a)^{n}$，当$n$为偶数时，$(-a)^{n}=a^{n}$）。
对于$(x - y)^{16}÷(y - x)^{4}=(x - y)^{16}÷(x - y)^{4}$，根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，这里$a=x - y$，$m = 16$，$n = 4$。
则$(x - y)^{16}÷(x - y)^{4}=(x - y)^{16 - 4}=(x - y)^{12}$。
5. （5）
先分别计算各项：
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}(a\neq0,m,n$是正整数$)$，$a^{2}· a^{4}=a^{2 + 4}=a^{6}$。
根据积的乘方$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$和幂的乘方$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(-2a^{2})^{3}=(-2)^{3}·(a^{2})^{3}=-8a^{6}$。
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，$a^{8}÷ a^{2}=a^{8 - 2}=a^{6}$。
然后将各项结果相加：
$a^{2}· a^{4}+(-2a^{2})^{3}+a^{8}÷ a^{2}=a^{6}-8a^{6}+a^{6}$。
合并同类项：$(1 - 8 + 1)a^{6}=-6a^{6}$。
综上，答案依次为：（1）$m^{12}$；（2）$x^{6}y^{6}$；（3）$y^{m + 2}$；（4）$(x - y)^{12}$；（5）$-6a^{6}$。