《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积 相加.

答案： 每一项 每一项 相加

突破点一 单项式乘单项式
【例1】计算：
(1) $(2x)^{2}\cdot (-5xy^{2})$；
(2) $(-\frac{1}{2}xyz)\cdot \frac{2}{3}x^{2}y^{2}\cdot (-\frac{3}{5}yz^{3})$；
(3) $a^{3}\cdot a^{4}\cdot a+(a^{2})^{4}+(-2a^{4})^{2}$；
(4) $\frac{2}{5}x^{2}y\cdot (-0.5xy)^{2}\cdot (-5x)^{3}\cdot xy^{3}$.
解：
【规律方法】
(1) 单项式与单项式相乘，当系数是带分数时，要把带分数化为假分数.
(2) 在混合运算中，要按照“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序进行.

答案： 1. （1）
首先，根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$，计算$(2x)^{2}$：
$(2x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}=4x^{2}$。
然后，根据单项式乘单项式法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$m$，$n$为正整数），计算$4x^{2}\cdot(-5xy^{2})$：
$4x^{2}\cdot(-5xy^{2})=[4×(-5)]\cdot(x^{2}\cdot x)\cdot y^{2}$。
因为$x^{2}\cdot x=x^{2 + 1}=x^{3}$，所以$4x^{2}\cdot(-5xy^{2})=-20x^{3}y^{2}$。
2. （2）
根据单项式乘单项式法则：
$(-\frac{1}{2}xyz)\cdot\frac{2}{3}x^{2}y^{2}\cdot(-\frac{3}{5}yz^{3})=[(-\frac{1}{2})×\frac{2}{3}×(-\frac{3}{5})]\cdot(x\cdot x^{2})\cdot(y\cdot y^{2}\cdot y)\cdot(z\cdot z^{3})$。
由同底数幂相乘$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，可得$x\cdot x^{2}=x^{1+2}=x^{3}$，$y\cdot y^{2}\cdot y=y^{1 + 2+1}=y^{4}$，$z\cdot z^{3}=z^{1+3}=z^{4}$。
又$(-\frac{1}{2})×\frac{2}{3}×(-\frac{3}{5})=\frac{1}{5}$，所以$(-\frac{1}{2}xyz)\cdot\frac{2}{3}x^{2}y^{2}\cdot(-\frac{3}{5}yz^{3})=\frac{1}{5}x^{3}y^{4}z^{4}$。
3. （3）
先根据同底数幂相乘法则计算$a^{3}\cdot a^{4}\cdot a$：
$a^{3}\cdot a^{4}\cdot a=a^{3 + 4+1}=a^{8}$。
再根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$计算$(a^{2})^{4}$：
$(a^{2})^{4}=a^{2×4}=a^{8}$。
然后根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$计算$(-2a^{4})^{2}$：
$(-2a^{4})^{2}=(-2)^{2}\cdot(a^{4})^{2}=4a^{8}$。
最后进行加法运算：
$a^{3}\cdot a^{4}\cdot a+(a^{2})^{4}+(-2a^{4})^{2}=a^{8}+a^{8}+4a^{8}=(1 + 1+4)a^{8}=6a^{8}$。
4. （4）
先根据积的乘方公式计算$(-0.5xy)^{2}$和$(-5x)^{3}$：
$(-0.5xy)^{2}=(-0.5)^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{2}=0.25x^{2}y^{2}$，$(-5x)^{3}=(-5)^{3}\cdot x^{3}=-125x^{3}$。
再根据单项式乘单项式法则计算：
$\frac{2}{5}x^{2}y\cdot0.25x^{2}y^{2}\cdot(-125x^{3})\cdot xy^{3}$
$=[\frac{2}{5}×0.25×(-125)]\cdot(x^{2}\cdot x^{2}\cdot x^{3}\cdot x)\cdot(y\cdot y^{2}\cdot y^{3})$。
由同底数幂相乘$x^{2}\cdot x^{2}\cdot x^{3}\cdot x=x^{2 + 2+3 + 1}=x^{8}$，$y\cdot y^{2}\cdot y^{3}=y^{1+2 + 3}=y^{6}$。
又$\frac{2}{5}×0.25×(-125)=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×(-125)=-\frac{2×125}{20}=-\frac{25}{2}$，所以$\frac{2}{5}x^{2}y\cdot(-0.5xy)^{2}\cdot(-5x)^{3}\cdot xy^{3}=-\frac{25}{2}x^{8}y^{6}$。
综上，（1）$-20x^{3}y^{2}$；（2）$\frac{1}{5}x^{3}y^{4}z^{4}$；（3）$6a^{8}$；（4）$-\frac{25}{2}x^{8}y^{6}$。

1. 如果单项式 $-2x^{4a - b}y^{3}$ 与 $\frac{1}{2}x^{2}y^{a + b}$ 是同类项，那么这两个单项式的积是(D)

A.$x^{4}y^{6}$
B.$-x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{3}{2}x^{2}y^{3}$
D.$-x^{4}y^{6}$

答案： 1.D

2. 计算：(1) $12x^{3}\cdot (-1\frac{3}{4}y^{2})$；
(2) $5a^{3}b\cdot (-\frac{1}{2}b)^{2}\cdot (-ab)^{2}\cdot (-ab)\cdot ab^{3}\cdot (-4a)^{2}$.

答案： 2.解$:(1)-21x^{3}y^{2}. (2)-20a^{9}b^{9}.$

突破点二 单项式乘多项式
【例2】计算：
(1) $-2x(x^{2}-\frac{1}{2}x - 6)$；
(2) $(-2m)^{2}\cdot (-m\cdot m^{2}+3m^{3})$；
(3) $4a^{2}\cdot (-b)-8ab(b-\frac{1}{2}a)$.
解：
【规律方法】
(1) 单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式乘多项式的每一项，将其转化为单项式乘单项式，不可漏乘任何一项.
(2) 在确定积的每一项的符号时，既要看多项式中每一项的符号，又要看单项式的符号，这样才能正确确定积的每一项的符号.
(3) 对于含有乘方、乘法、加减的混合运算，既要注意运算顺序，也要注意合并同类项，得出最简结果.

答案： 解$:(1)-2x^{3}+x^{2}+12x.$
$(2)8m^{5}. (3)-8ab^{2}.$