《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

2. 若 $(a + 1)(a - 1) = 35$，则 $a$ 的值为(A)

A.$\pm 6$
B.$\pm 3$
C.$6$
D.$3$

答案： A

突破点二 平方差公式的应用
【例2】运用平方差公式计算：
（1）$298×302$；
（2）$99\frac{8}{9}×100\frac{1}{9}$。
 

答案： 1. （1）
解：
对于$298×302$，可将其变形为$(300 - 2)(300+2)$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 300$，$b = 2$。
则$(300 - 2)(300+2)=300^{2}-2^{2}$。
计算$300^{2}-2^{2}=90000 - 4=89996$。
2. （2）
解：
对于$99\frac{8}{9}×100\frac{1}{9}$，先将其变形为$(100-\frac{1}{9})(100+\frac{1}{9})$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 100$，$b=\frac{1}{9}$。
则$(100-\frac{1}{9})(100+\frac{1}{9})=100^{2}-(\frac{1}{9})^{2}$。
计算$100^{2}-(\frac{1}{9})^{2}=10000-\frac{1}{81}$。
进一步化为带分数：$10000-\frac{1}{81}=9999\frac{80}{81}$。
综上，（1）的结果是$89996$；（2）的结果是$9999\frac{80}{81}$。

3. 计算：$123^{2} - 122×124 =$1。

答案： 1

4. 先化简，再求值：$2m - (-m - 2)(m - 2) - (m + 3)(m - 3)$，其中 $m = 5$。

答案： 原式=$2m+5$.
当$m=5$时,原式=$15$.

1. 下列算式中，能用平方差公式计算的是(D)

A.$(2a + b)(2b - a)$
B.$(4x + 1)(-4x - 1)$
C.$(2x - y)(2x - y)$
D.$(-x + y)(-x - y)$

答案： D

2. 已知 $x + y = 6$，$x^{2} - y^{2} = -18$，则 $x - y$ 的值为(B)

A.$3$
B.$-3$
C.$6$
D.$-9$

答案： B

3. 计算：$(x - 3y)(x^{2} + 9y^{2})(x + 3y) =$$x^{4}-81y^{4}$。

答案： $x^{4}-81y^{4}$

4. 计算：$1023^{2} - 1024×1022 =$1。

答案： 1

5. 用简便方法计算：$103×97 + 9$。

答案： 原式=$(100+3)×(100-3)+9$
=$100^{2}-3^{2}+9=10000-9+9=10000$.

6. 已知代数式：$b(a - 4b) - (a + 2b)(a - 2b)$。
（1）化简这个代数式；
（2）若 $a = 3$，$b = 2$，求原代数式的值。

答案： （1）原式=$ab-a^{2}$. （2）$-3$.

技能点：利用平方差公式计算
7. 计算：
（1）$(3a + b)(3a - b)$；
（2）$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) + \sqrt[3]{27}$；
（3）$x^{2} - (x + 2)(x - 2)$；
（4）$(y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y - 3)$；
（5）$(3x + y)(y - 3x) - x(3y - 9x)$；
（6）$4(2a + 1)(2a - 1)(a^{2} + \frac{1}{4})$。

答案： 1. （1）
解：根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，对于$(3a + b)(3a - b)$，这里$m = 3a$，$n = b$。
则$(3a + b)(3a - b)=(3a)^{2}-b^{2}=9a^{2}-b^{2}$。
2. （2）
解：先根据平方差公式计算$(3-\sqrt{7})(3 + \sqrt{7})$，其中$m = 3$，$n=\sqrt{7}$，$(3-\sqrt{7})(3 + \sqrt{7})=3^{2}-(\sqrt{7})^{2}=9 - 7$；再计算$\sqrt[3]{27}$，因为$3^{3}=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
则$(3-\sqrt{7})(3 + \sqrt{7})+\sqrt[3]{27}=(9 - 7)+3$
$=2 + 3=5$。
3. （3）
解：先根据平方差公式计算$(x + 2)(x - 2)$，其中$m = x$，$n = 2$，$(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$。
则$x^{2}-(x + 2)(x - 2)=x^{2}-(x^{2}-4)$
$=x^{2}-x^{2}+4=4$。
4. （4）
解：先根据平方差公式计算$(y + 2)(y - 2)$，其中$m = y$，$n = 2$，$(y + 2)(y - 2)=y^{2}-4$；再计算$(y - 1)(y - 3)=y^{2}-3y - y + 3=y^{2}-4y + 3$。
则$(y + 2)(y - 2)-(y - 1)(y - 3)=(y^{2}-4)-(y^{2}-4y + 3)$
$=y^{2}-4 - y^{2}+4y - 3$
$=4y-7$。
5. （5）
解：先将$(3x + y)(y - 3x)$变形为$(y + 3x)(y - 3x)$，根据平方差公式，其中$m = y$，$n = 3x$，$(y + 3x)(y - 3x)=y^{2}-9x^{2}$；再计算$x(3y - 9x)=3xy-9x^{2}$。
则$(3x + y)(y - 3x)-x(3y - 9x)=(y^{2}-9x^{2})-(3xy - 9x^{2})$
$=y^{2}-9x^{2}-3xy + 9x^{2}$
$=y^{2}-3xy$。
6. （6）
解：先根据平方差公式计算$(2a + 1)(2a - 1)$，其中$m = 2a$，$n = 1$，$(2a + 1)(2a - 1)=4a^{2}-1$。
则$4(2a + 1)(2a - 1)(a^{2}+\frac{1}{4})=4(4a^{2}-1)(a^{2}+\frac{1}{4})$
再根据平方差公式$(4a^{2}-1)(a^{2}+\frac{1}{4})=(4a^{2})× a^{2}+4a^{2}×\frac{1}{4}-a^{2}-\frac{1}{4}=4a^{4}+a^{2}-a^{2}-\frac{1}{4}=4a^{4}-\frac{1}{4}$。
所以$4(4a^{2}-1)(a^{2}+\frac{1}{4})=4(4a^{4}-\frac{1}{4})$
$=16a^{4}-1$。
综上，答案依次为：（1）$9a^{2}-b^{2}$；（2）$5$；（3）$4$；（4）$4y - 7$；（5）$y^{2}-3xy$；（6）$16a^{4}-1$。