《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的高线，$E$为$AC$上一点，$EF \perp AB$于点$F$，$AE = CB$. 求证：$\triangle AEF \cong \triangle CBD$.

答案： 3.证明:在Rt△ABC中,∠B+∠A=90°.
因为CD是斜边AB上的高线,
所以∠B+∠BCD=90°.
所以∠A=∠BCD.
因为EF⊥AB,
所以∠EFA=∠BDC=90°.
在△AEF和△CBD中,$\begin{cases} \angle A = \angle BCD, \\ \angle EFA = \angle BDC, \\ AE = CB, \end{cases}$
所以△AEF≌△CBD(AAS).

测量河两岸两点间的距离
学习了全等三角形的判定后，某数学兴趣小组同学就“测量河两岸$A$，$B$两点间的距离”这一问题，设计了如下方案，如图①.
【测量工具】测量角度的仪器，皮尺等.
【测量步骤】
①在点$B$所在河岸同侧的平地上取点$C$和点$D$，使得点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，且$CD = BC$；
②测得$\angle DCB = 100°$，$\angle ADC = 65°$；
③在$CD$的延长线上取点$E$，使得$\angle BEC = 15°$；
④测得$DE$的长度为$30m$.
【问题解决】请你根据以上方案求出$A$，$B$两点间的距离$AB$.
【延伸探究】如图②，设$AD$与$BE$交于点$F$，善于观察和思考的小明同学猜想线段$AF = EF$，你同意小明的观点吗？说明理由.

答案： 【问题解决】
AB=30m.
【延伸探究】
同意小明的观点.
理由:由上,知∠CAD=∠BEC,AB=ED.
因为∠AFB与∠EFD是对顶角,
所以∠AFB=∠EFD.
在△ABF和△EDF中,$\begin{cases} \angle BAF = \angle DEF, \\ \angle AFB = \angle EFD, \\ AB = ED, \end{cases}$
所以△ABF≌△EDF(AAS).
所以AF=EF.