《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

【例 2】如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，且 $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$. 试判断 $\triangle DEF$ 的形状，并简要说明理由.

解：

答案： △DEF是等边三角形.理由如下：
因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
因为∠1=∠2=∠3，
所以∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠BAC=60°.
同理∠DEF=∠EDF=60°.
所以△DEF是等边三角形.

(交换条件和结论) 若结论“$\triangle DEF$ 是等边三角形”和条件“$\triangle ABC$ 是等边三角形”互换位置，如何证明?
| 规律方法 |
1. 等边三角形性质定理的应用思路
由等边三角形，可知隐含的相等边和 $60^{\circ}$ 的角；由等边三角形某边上的高，可利用“三线合一”的性质.
2. 等边三角形的判定方法的选择
(1) 若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定.
(2) 若已知三角关系，则考虑用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.
(3) 若已知该三角形是等腰三角形，则考虑用“有一个角是 $60^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形”来判定.

答案： 证明：因为△DEF是等边三角形，
所以∠DFE=60°.
又因为∠DFE=∠3+∠FAC，∠1=∠3，
所以∠BAC=∠1+∠FAC=∠3+∠FAC=60°.
同理∠ABC=∠ACB=60°.
所以△ABC是等边三角形.

1. 已知等腰三角形的一个外角是 $120^{\circ}$，则它是等边三角形.

答案： 等边

2. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AC = 10$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，则 $BD$ 的长为5.

答案： 5

【例 3】如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$M$ 是 $AB$ 上一点，$CM = \frac{1}{2}AB$，$D$ 是 $BM$ 的中点，求证：$CD \perp AB$.

| 思路分析 |
思考 1: 由 $\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，得 $BC$ 与 $AB$ 有怎样的数量关系?
思考 2: 由已知 $CM = \frac{1}{2}AB$ 和思考 1 中的结论，得 $CM$ 与 $BC$ 有什么数量关系?
思考 3: 由 $D$ 是 $BM$ 的中点，结合思考 2 的结论，能得出 $CD \perp AB$ 吗? 依据是什么?
证明：

答案： 因为∠ACB=90°，∠A=30°，
所以BC=$\frac{1}{2}$AB.
因为CM=$\frac{1}{2}$AB，所以CM=BC，
所以△CMB是等腰三角形.
又因为D是BM的中点，所以CD⊥AB.