《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 已知 $a^{3m - n}=8$，$a^{m}=2$，则 $a^{n}$的值是(A)

A.1
B.4
C.2
D.12

答案： 1.A

2. 已知 $3x - 2y = 3$，则 $27^{x}÷9^{y}$的值是(D)

A.12
B.8
C.18
D.27

答案： 2.D

突破点二 单项式除以单项式
例 2 计算：(1) $(-14a^{5}b^{8}c)÷(2a^{3}b^{2})$；
(2) $(-6x^{4}y^{5})^{2}÷(-xy^{2})^{2}$；
(3) $(-2ab^{2})^{3}·(2a^{2}b)^{2}÷(2ab^{2})^{3}$；
(4) $(6x^{7}y^{2})÷(2x^{5}y)-(3x^{4}y^{6})÷(3x^{2}y^{5})$。
解：
【规律方法】
单项式除以单项式的注意事项
(1) 一个“不变”：对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。
(2) 两个“相除”：把各个单项式中的系数、同底数幂分别相除。

答案： 1. （1）
解：
根据单项式除以单项式法则，系数相除$(-14÷2)$，同底数幂相除$a^{5}÷ a^{3}=a^{5 - 3}$，$b^{8}÷ b^{2}=b^{8 - 2}$，$c$照写。
$(-14a^{5}b^{8}c)÷(2a^{3}b^{2})=(-14÷2)·(a^{5}÷ a^{3})·(b^{8}÷ b^{2})· c$
$=-7a^{2}b^{6}c$。
2. （2）
解：
先算乘方：$(-6x^{4}y^{5})^{2}=(-6)^{2}(x^{4})^{2}(y^{5})^{2}=36x^{8}y^{10}$，$(-xy^{2})^{2}=(-1)^{2}x^{2}(y^{2})^{2}=x^{2}y^{4}$。
再算除法：$(-6x^{4}y^{5})^{2}÷(-xy^{2})^{2}=36x^{8}y^{10}÷(x^{2}y^{4})$
根据单项式除以单项式法则，$36x^{8}y^{10}÷(x^{2}y^{4})=(36÷1)·(x^{8}÷ x^{2})·(y^{10}÷ y^{4})$
$ = 36x^{6}y^{6}$。
3. （3）
解：
先算乘方：$(-2ab^{2})^{3}=(-2)^{3}a^{3}(b^{2})^{3}=-8a^{3}b^{6}$，$(2a^{2}b)^{2}=2^{2}(a^{2})^{2}b^{2}=4a^{4}b^{2}$，$(2ab^{2})^{3}=2^{3}a^{3}(b^{2})^{3}=8a^{3}b^{6}$。
再算乘除：$(-2ab^{2})^{3}·(2a^{2}b)^{2}÷(2ab^{2})^{3}=(-8a^{3}b^{6})·(4a^{4}b^{2})÷(8a^{3}b^{6})$
先算乘法：$(-8a^{3}b^{6})·(4a^{4}b^{2})=(-8×4)·(a^{3}· a^{4})·(b^{6}· b^{2})=-32a^{7}b^{8}$。
再算除法：$-32a^{7}b^{8}÷(8a^{3}b^{6})=(-32÷8)·(a^{7}÷ a^{3})·(b^{8}÷ b^{6})$
$=-4a^{4}b^{2}$。
4. （4）
解：
先算除法：
$(6x^{7}y^{2})÷(2x^{5}y)=(6÷2)·(x^{7}÷ x^{5})·(y^{2}÷ y)=3x^{2}y$。
$(3x^{4}y^{6})÷(3x^{2}y^{5})=(3÷3)·(x^{4}÷ x^{2})·(y^{6}÷ y^{5})=x^{2}y$。
再算减法：$(6x^{7}y^{2})÷(2x^{5}y)-(3x^{4}y^{6})÷(3x^{2}y^{5})=3x^{2}y - x^{2}y$
$=(3 - 1)x^{2}y=2x^{2}y$。
综上，（1）$-7a^{2}b^{6}c$；（2）$36x^{6}y^{6}$；（3）$-4a^{4}b^{2}$；（4）$2x^{2}y$。

3. 若一个长方形的面积是 $81(a^{3}b)^{4}$，它的一边长是 $(3ab)^{2}$，则它的另一边长为(C)

A.$2a^{4}b$
B.$4a^{10}b$
C.$9a^{10}b^{2}$
D.$4a^{3}b$

答案： 3.C

4. 若 $(-ab)^{6}÷(-a^{3}b)=-ma^{n}b^{x}$，求 $m^{n}+x$的值。

答案： 4.解：6.

突破点三 多项式除以单项式
例 3 计算：
(1) $(x^{3}-2x^{2}y)÷(-x^{2})$；
(2) $(9x^{2}y^{3}-27x^{3}y^{2})÷(3xy)^{2}$；
(3) $[(a + b)(3a - b)+(b^{2}-3a^{2})]÷(2ab)$。
解：
【规律方法】
(1) 多项式除以单项式的基本思路是转化为单项式除以单项式问题来解决。
(2) 多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算。
(3) 多项式中的每一项必须包含前面的符号。

答案： 1. （1）
解：$(x^{3}-2x^{2}y)÷(-x^{2})$
根据多项式除以单项式法则$(a + b)÷ c=a÷ c + b÷ c$（$c\neq0$），这里$a = x^{3}$，$b=-2x^{2}y$，$c=-x^{2}$。
则$(x^{3}-2x^{2}y)÷(-x^{2})=x^{3}÷(-x^{2})-2x^{2}y÷(-x^{2})$。
根据单项式除以单项式法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，$x^{3}÷(-x^{2})=-x^{3 - 2}=-x$，$-2x^{2}y÷(-x^{2}) = 2y$。
所以$(x^{3}-2x^{2}y)÷(-x^{2})=-x + 2y$。
2. （2）
解：先计算$(3xy)^{2}=9x^{2}y^{2}$。
则$(9x^{2}y^{3}-27x^{3}y^{2})÷(3xy)^{2}=(9x^{2}y^{3}-27x^{3}y^{2})÷(9x^{2}y^{2})$。
根据多项式除以单项式法则$(a + b)÷ c=a÷ c + b÷ c(c\neq0)$，这里$a = 9x^{2}y^{3}$，$b=-27x^{3}y^{2}$，$c = 9x^{2}y^{2}$。
$9x^{2}y^{3}÷(9x^{2}y^{2})=y$，$-27x^{3}y^{2}÷(9x^{2}y^{2})=-3x$。
所以$(9x^{2}y^{3}-27x^{3}y^{2})÷(3xy)^{2}=y-3x$。
3. （3）
解：先化简$[(a + b)(3a - b)+(b^{2}-3a^{2})]$。
根据多项式乘多项式法则$(m + n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，$(a + b)(3a - b)=3a^{2}-ab + 3ab - b^{2}=3a^{2}+2ab - b^{2}$。
则$[(a + b)(3a - b)+(b^{2}-3a^{2})]=(3a^{2}+2ab - b^{2}+b^{2}-3a^{2})$。
合并同类项得$3a^{2}+2ab - b^{2}+b^{2}-3a^{2}=2ab$。
再计算$2ab÷(2ab)=1$。
综上，（1）$-x + 2y$；（2）$y-3x$；（3）$1$。