《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

【例2】如图，$CA$平分$\angle DCB$，$CB = CD$，$DA$的延长线交$BC$于点$E$.
(1)求证：$\triangle ABC \cong \triangle ADC$；
(2)若$\angle EAC = 45^{\circ}$，求$\angle BAE$的度数.

答案：
(1)证明：因为CA平分∠DCB，所以∠ACB=∠ACD.在△ABC和△ADC中，$\begin{cases}CB=CD,\\∠ACB=∠ACD,\\AC=AC,\end{cases}$所以△ABC≌△ADC(SAS).
(2)解：90°.

【例3】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$DE \perp AC$，垂足为$E$，$\triangle ABD$的面积为$5$，则$DE$的长为(B)


A.1
B.2
C.3
D.5

答案： B

【例4】如图，$\triangle ABC$内部一点$O$到两边$AB$，$AC$所在直线的距离相等，且$OB = OC$. 求证：$AB = AC$.

答案： 证明：连接OA(图略).因为点O到AB，AC的距离相等，即OF=OE，所以AO平分∠BAC，即∠BAO=∠CAO.在Rt△BOF和Rt△COE中，$\begin{cases}OB=OC,\\OF=OE,\end{cases}$所以Rt△BOF≌Rt△COE(HL).所以∠FBO=∠ECO.在△AOB和△AOC中，$\begin{cases}∠BAO=∠CAO,\\∠ABO=∠ACO,\\OB=OC,\end{cases}$所以△AOB≌△AOC(AAS).所以AB=AC.

【例】小明和小颖玩跷跷板时的示意图如图所示，点$O$是跷跷板$AB$的中点，支柱$OE$与地面垂直，且$OE$的长度为$50\ cm$，当小明(点$A$)到水平线$CD$的距离$AM$为$40\ cm$时，小颖(点$B$)到地面的距离为(D)


A.$40\ cm$
B.$70\ cm$
C.$80\ cm$
D.$90\ cm$

答案： D