《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

3. 分解因式：
(1) $1 + 4xy + 4x^2y^2 =$$(1 + 2xy)^{2}$；
(2) $(a + 1)^2 - 4a =$$(a - 1)^{2}$。

答案： 3.
(1)$(1 + 2xy)^{2}$；
(2)$(a - 1)^{2}$

【例3】分解因式：
(1) $18m^3n - 8mn^3$；
(2) $27a^3b(m - n) + 3ab^3(n - m)$；
(3) $a^3 - 6a^2 + 9a$；
(4) $x^3y + 4x^2y^2 + 4xy^3$。
思路分析
思考1：在对(1)(2)因式分解时，先提公因式，再用平方差公式。
思考2：在对(3)(4)因式分解时，先提公因式，再用完全平方公式。
解：
【规律方法】
因式分解的三步骤

```mermaid
graph TD
A[一提] --＞ B[看有无公因式.若有，则提取公因式]
B --＞ C[二套]
C --＞ D[考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式]
D --＞ E[三检查]
E --＞ F[检查是否分解彻底.若没有，则继续分解]
```

答案： 思路分析：思考1：提公因式，平方差公式；思考2：提公因式，完全平方公式。解：
(1)原式=$2mn(3m + 2n)(3m - 2n)$.
(2)原式=$3ab(m - n)(3a + b)(3a - b)$.
(3)原式=$a(a - 3)^{2}$.
(4)原式=$xy(x + 2y)^{2}$.

4. 分解因式：
(1) $2x^2 - 8 =$$2(x + 2)(x - 2)$；
(2) $a^5 - 2a^3 + a =$$a(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$。

答案： 4.
(1)$2(x + 2)(x - 2)$；
(2)$a(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$

【例4】分解因式：$x^2 - 5x + 6$。
【规律方法】
(1) 根据$x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$可以将某些二次项系数是$1$的二次三项式分解因式，这种因式分解的方法叫作十字相乘法。在利用该式进行因式分解时，需要先判断该式是否符合$x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$的形式：二次项系数为$1$，且该多项式中对应的$p$，$q$之积等于常数项，$p$，$q$之和等于一次项系数。
(2) 运用十字相乘法也可以对一些二次项系数不为$1$的二次三项式进行因式分解：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

答案： 解：对于$x^2 - 5x + 6$，二次项系数为$1$，常数项$6 = (-2)×(-3)$，一次项系数$-5 = (-2)+(-3)$。
根据$x^2+(p + q)x + pq=(x + p)(x + q)$（这里$p=-2$，$q = -3$），可得$x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)$。