《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

学习任务一 作已知角的平分线
1. 用尺规作已知角的平分线的一般方法
已知：$\angle AOB$(如图).

作法：(1)以点$O$为圆心，适当长为半径作弧，分别交$OA$，$OB$于点$M$，$N$.
(2)分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在$\angle AOB$的内部相交于点$C$.
(3)作射线$OC$.
射线$OC$即为所求作的$\angle AOB$的平分线，如图所示.

2. 上述作角的平分线的依据是$SSS$.

答案： 1.
(2)大于$\frac{1}{2}MN$
(3)射线$OC$
2.$SSS$

学习任务二 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等.

答案： 相等

学习任务三 证明一个几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证.
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证.
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

答案：
(1)已知 求证
(2)已知 求证
(3)已知 要证的结论

学习任务四 角的平分线的判定
(1)文字描述：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：如图，因为$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，$PD =$$PE$，所以$\angle AOC =$$\angle BOC$(或$OP$是$\angle AOB$的平分线).

答案：
(1)距离相等
(2)$PE$ $\angle BOC$ 平分线

突破点一 角的平分线的性质的应用
【例1】
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle CAB$，$DE \perp AB$于点$E$，$F$在$AC$上，$BE = FC$. 求证：$BD = DF$.

思路分析
铺路设桥
思考1：要证明$BD = DF$，可考虑这两边所在的哪两个三角形全等？
思考2：这两个三角形中已知哪些元素相等？
思考3：如何利用“$AD$平分$\angle CAB$”这个条件证明上面两个三角形全等？
证明：
【规律方法】
（1）应用角的平分线的性质时，“角的平分线”“垂直”两个条件缺一不可，不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点的距离相等.
（2）由角的平分线的性质可以直接得线段相等（不用证全等），这是证明线段相等的一个简单方法.

答案： 因为$AD$平分$\angle CAB$，$DE\perp AB$，$\angle C = 90°$，所以$DE = DC$，$\angle BED = \angle C=90°$.
在$\triangle BDE$和$\triangle FDC$中，
$\begin{cases} ED=CD, \\ \angle BED=\angle C, \\ BE=FC, \end{cases}$
所以$\triangle BDE \cong \triangle FDC(SAS)$.
所以$BD = DF$.