《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，$OP$平分$\angle MON$，$PA \perp ON$于点$A$，点$Q$是射线$OM$上的一个动点. 若$PA = 2$，则$PQ$的最小值为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 1.$B$

2. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，以顶点$A$为圆心，适当长为半径作弧，分别交边$AC$，$AB$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧交于点$P$，作射线$AP$交边$BC$于点$D$. 若$CD = 4$，$AB = 15$，则$\triangle ABD$的面积为(B)

A.$15$
B.$30$
C.$45$
D.$60$

答案： 2.$B$

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 42^{\circ}$，$AD \perp BC$于点$D$，$E$是$BD$上一点，$EF \perp AB$于点$F$. 若$ED = EF$，则$\angle AEC$的度数为(D)

A.$60^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$64^{\circ}$
D.$66^{\circ}$

答案： 3.$D$

4. 如图，$AB = AC$，$BD = CD$，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$. 求证：$DE = DF$.

答案： 4.证明:如图，连接$AD$.
因为$AB = AC$，$BD = CD$，$AD = AD$，
所以$\triangle ABD \cong \triangle ACD(SSS)$.
所以$\angle BAD = \angle CAD$.
所以$AD$是$\angle EAF$的平分线.
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
所以$DE = DF$.
 

5. 如图，$BE = CF$，$BF \perp AC$于点$F$，$CE \perp AB$于点$E$，$BF$和$CE$交于点$D$.
求证：$AD$平分$\angle BAC$.

课时作业 请使用创新分层作业（十一）

答案： 5.证明:因为$BF\perp AC$，$CE\perp AB$，
所以$\angle DEB = \angle DFC = 90°$.
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases} \angle BDE=\angle CDF, \\ \angle DEB=\angle DFC, \\ BE=CF, \end{cases}$
所以$\triangle BDE \cong \triangle CDF(AAS)$.
所以$DE = DF$.
又因为$BF\perp AC$，$CE\perp AB$，
所以$AD$平分$\angle BAC$.