《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，若$AC = 6\ cm$，$AD:CD = 2:1$，则点$D$到$AB$的距离是(A)

A.$2\ cm$
B.$3\ cm$
C.$4\ cm$
D.$5\ cm$

答案： 1.$A$

2. 如图，点$P$为$\angle AOB$的平分线$OD$上一点，且$OA = OB$，$PM \perp BD$，$PN \perp AD$，垂足分别为点$M$，$N$. 求证：$PM = PN$.

突破点二 角的平分线的判定
【例2】
如图，点$D$为锐角$\angle ABC$内一点，点$M$在$BA$上，点$N$在$BC$上，且$DM = DN$，$\angle BMD + \angle BND = 180^{\circ}$. 求证：$BD$平分$\angle ABC$.

证明：

答案： 2.证明:如图.
因为$OD$平分$\angle AOB$，所以$\angle 1 = \angle 2$.
在$\triangle OBD$和$\triangle OAD$中，$\begin{cases} OB=OA, \\ \angle 1=\angle 2, \\ OD=OD, \end{cases}$
所以$\triangle OBD \cong \triangle OAD(SAS)$.
所以$\angle 3 = \angle 4$，
所以$DO$是$\angle ADB$的平分线.
又因为$PM\perp BD$，$PN\perp AD$，
所以$PM = PN$.
【例2】证明:如图，过点$D$分别作$AB$，$BC$的垂线，垂足分别为$E$，$F$.
因为$\angle BMD+\angle BND = 180°$，$\angle BMD+\angle EMD = 180°$，所以$\angle EMD = \angle BND$.
在$\triangle DEM$和$\triangle DFN$中，
$\begin{cases} \angle EMD=\angle BND, \\ \angle DEM=\angle DFN = 90°, \\ DM=DN, \end{cases}$
所以$\triangle DEM \cong \triangle DFN(AAS)$.
所以$DE = DF$，
所以$BD$平分$\angle ABC$.

（交换条件和结论）例2中把条件“$\angle BMD + \angle BND = 180^{\circ}$”和结论“$BD$平分$\angle ABC$”互换后，再进行证明.
【规律方法】
证明角的平分线的“两种方法”
（1）定义法：应用角的平分线的定义.
（2）定理法：应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定. 判定角的平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.

答案： 证明:过点$D$分别作$AB$，$BC$的垂线，垂足分别为$E$，$F$(图略).
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$DE = DF$.
在$Rt\triangle DEM$和$Rt\triangle DFN$中，$\begin{cases} DM=DN, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以$Rt\triangle DEM \cong Rt\triangle DFN(HL)$.
所以$\angle EMD = \angle BND$.
又因为$\angle BMD+\angle EMD = 180°$，
所以$\angle BMD+\angle BND = 180°$.

3. 如图，$C$为$\angle DAB$内一点，$CD \perp AD$于点$D$，$CB \perp AB$于点$B$，且$CD = CB$，则点$C$在____上.

答案： @@3.$\angle DAB$的平分线
 

4. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，且$BE = CF$. 求证：$AD$是$\angle BAC$的平分线.

答案： 4.证明:因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = CD$.
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
所以$\angle BED = \angle CFD = 90°$.
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
所以$Rt\triangle BDE \cong Rt\triangle CDF(HL)$.
所以$DE = DF$.
所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上，即$AD$是$\angle BAC$的平分线.