《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 用完全平方公式计算：$99.7^2$。

答案： 1. 9940.09

2. 若 $(2m + a)^2 = bm^2 + 12m + c$，求 $a + b + c$ 的值。

答案： 2. 16

突破点二 完全平方公式的应用
【例2】已知 $a + b = 3$，$ab = -12$，求下列各式的值。
（1）$a^2 + b^2$；（2）$a^2 - ab + b^2$。
| 思路分析 |
思考：用 $a + b$ 和 $ab$ 怎样表示 $a^2 + b^2$？
解：

答案： （1）33；（2）45

（改变条件）将本例中的“$a + b = 3$”改成“$a - b = 13$”，求下列各式的值。
（1）$a^2 + b^2$；（2）$a^2 - ab + b^2$。
| 规律方法 |
完全平方公式的常用变形
（1）$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$；
（2）$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2a^2 + 2b^2$，$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$；
（3）$ab = \frac{1}{2}[(a + b)^2 - (a^2 + b^2)] = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2] = (\frac{a + b}{2})^2 - (\frac{a - b}{2})^2$。

答案： 本题可根据完全平方公式的常用变形来求解。
$(1)$求$a^2 + b^2$的值
解：根据完全平方公式的常用变形$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$，由于题目中未给出$ab$的值，所以我们还需要一个条件才能求解。
但从题目所给信息来看，可能是在原题（例$2$）的基础上改变条件，原题中$ab = - 12$，在本题改变条件后$ab$的值不变（因为题目未提及$ab$改变）。
将$a - b = 13$，$ab = - 12$代入$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$可得：
$a^2 + b^2=13^2 + 2×(-12)$
$=169 - 24$
$= 145$
$(2)$求$a^2 - ab + b^2$的值
解：由$(1)$已求得$a^2 + b^2 = 145$，将$a^2 + b^2 = 145$，$ab = - 12$代入$a^2 - ab + b^2=(a^2 + b^2)-ab$可得：
$a^2 - ab + b^2=145-(-12)$
$=145 + 12$
$= 157$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{145}$；$(2)\boldsymbol{157}$。

突破点三 添括号的应用
【例3】计算：（1）$(x - 2y + 3z)(x + 2y - 3z)$；（2）$(a + 2b + c)^2$。
解：
| 规律方法 |
两个三项式相乘的计算方法
（1）当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式。
（2）一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体，可利用完全平方公式。

答案： （1）$x^2 - 4y^2 + 12yz - 9z^2$；（2）$a^2 + 4ab + 4b^2 + 2ac + 4bc + c^2$