《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1.【教材 P132 习题 7 变式】对于任意整数 $n$,$(2n + 3)^{2}-1$ 都( )

A.能被 $2$ 整除,不能被 $4$ 整除
B.能被 $3$ 整除
C.既能被 $2$ 整除,又能被 $4$ 整除
D.能被 $5$ 整除

答案： C

2. 多项式：① $4x^{2}-x$,② $(x - 1)^{2}-4(x - 1)$,③ $1 - x^{2}$,④ $-4x^{2}-1 + 4x$,分解因式后,结果中含有相同因式的是( )

A.①和②
B.③和④
C.①和④
D.②和③

答案： D

3. 下列多项式能用公式法分解因式的有( )
① $x^{2}+y^{2}$；② $-x^{2}+y^{2}$；③ $-x^{2}-y^{2}$；④ $x^{2}+xy + y^{2}$；⑤ $x^{2}+2xy - y^{2}$；⑥ $-x^{2}+4xy - 4y^{2}$。

A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个

答案： A 点拨:①$x^{2}+y^{2}$,两平方项符号相同,不能运用公式;②$-x^{2}+y^{2}=(y+x)(y-x),$两平方项符号相反,能运用平方差公式;③$-x^{2}-y^{2}$,两平方项符号相同,不能运用公式;④$x^{2}+xy+y^{2}$,乘积项不是2倍,不能运用完全平方公式;⑤$x^{2}+2xy-y^{2}$,两平方项符号相反,不能运用完全平方公式;⑥$-x^{2}+4xy-4y^{2}=-(x^{2}-4xy+4y^{2})=$$-(x-2y)^{2}$,整理后可以利用完全平方公式分解因式.所以②⑥能用公式法分解因式.故选 A.

4. 分解因式：$x^{2}(x - 2)+16(2 - x)= $ ______ 。

答案： $(x-2)(x+4)(x-4)$

5.【阅读理解】分解因式：$mx + nx + my + ny= (mx + nx)+(my + ny)= x(m + n)+y(m + n)= (m + n)(x + y)$。以上因式分解的方法称为“分组分解法”。对于四项多项式的分组,可以是“二、二分组(如此例)”,也可以是“三、一(或一、三)分组”。
根据以上方法进行分解因式：
(1) $m^{2}-n^{2}+m - n= $ ______ 。
(2) $4x^{2}-2x - y^{2}-y= $ ______ 。
(3) $a^{2}+b^{2}-9 + 2ab= $ ______ 。

答案：
(1)$(m-n)(m+n+1)$；
(2)$(2x+y)(2x-y-1)$；
(3)$(a+b+3)(a+b-3)$

6. 已知 $x$,$y$ 满足 $\begin{cases}xy = 3,\\2x - y = -1,\end{cases} $ 则 $8x^{3}y - 8x^{2}y^{2}+2xy^{3}= $ ______ 。

答案： 6 点拨:$8x^{3}y-8x^{2}y^{2}+2xy^{3}=2xy(4x^{2}-$$4xy+y^{2})=2xy(2x-y)^{2},\because \left\{\begin{array}{l} xy=3,\\ 2x-y=-1,\end{array}\right. $$\therefore $原式$=2×3×(-1)^{2}=6.$

7. 已知 $a$,$b$,$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长,且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$,则 $\triangle ABC$ 是 ______ 三角形。

答案： 等边 点拨:$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0,$$\therefore 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0,(a^{2}-$$2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})=0.$即$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0,$$\therefore a=b=c.\therefore △ABC$为等边三角形.

8. 已知 $x + y = 3$,$x - y = -2$,求 $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$ 的值。

答案： 解:$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})\cdot $$(x^{2}-2xy+y^{2})=(x+y)^{2}(x-y)^{2}.$将$x+y=3,x-y=-2$代入,得原式$=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$$=3^{2}×(-2)^{2}$$=9×4$$=36.$

下面是某同学对多项式 $(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$ 进行因式分解的过程。
设 $x^{2}-4x = y$,
则原式 $=(y + 2)(y + 6)+4$
$=y^{2}+8y + 16$
$=(y + 4)^{2}$
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$。
(1) 该同学因式分解的结果是否正确？若不正确,请直接写出因式分解的最后结果。
(2) 请你参照上述方法尝试对多项式 $(a^{2}-2a)\cdot(a^{2}-2a + 2)+1$ 进行因式分解。

答案： 解:
(1)该同学因式分解的结果不正确.因式分解的最后结果为$(x-2)^{4}.$
(2)设$a^{2}-2a=m$,则原式$=m(m+2)+1=m^{2}+2m+1=(m+1)^{2}=(a^{2}-2a+1)^{2}=(a-1)^{4}.$