《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

10. 如图15-1-18所示,在△ABC中,$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P,连接AP.
求证：点P在线段BC的垂直平分线上.

答案： 证明:如图所示，连接PB,PC.
∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC，
∴PA=PB,PA=PC,
∴PB=PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.

11. 如图15-1-19,在△ABC中,AB= AC= 14,AB的垂直平分线MN交AC于点D,且△DBC的周长是24,求BC的长.

答案： 解:
∵△DBC的周长是24，
∴BD+DC+BC=24.
∵MN垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴AD+DC+BC=24,即AC+BC=24.又
∵AC=14,
∴BC=24−14=10.

1. 如图15-1-20,兔子窝的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在( )

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点

答案： A

2. 下列命题：①若$a \leq 0$,则$\vert a \vert = -a$；②若$ma^{2} ＞ na^{2}$,则$m ＞ n$；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④同旁内角互补,两直线平行. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

3. 如图15-1-21所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF. 若$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle ABD = 24^{\circ}$,则$\angle ACF$的度数为( )

A.$48^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$24^{\circ}$

答案： A

4. 如图15-1-22,在Rt△ABC中,$\angle B = 90^{\circ}$,AD平分∠BAC,DE垂直平分AC,若△ADC的面积等于2,则△ABC的面积为______.

答案： 3　点拨:
∵DE垂直平分AC,
∴DE⊥AC,AE=CE.
∵∠B=90°,
∴DB⊥AB.
∵AD 平分∠BAC,
∴DB=DE.在Rt△ABD和Rt△AED中,{AD = AD,BD = DE},
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL),
∴AB=AE=CE,
∴S△ACD=1/2AC·DE=1/2×2AB·BD=2S△ABD=2,
∴S△ABD=1,
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=3.

5. 如图15-1-23,在Rt△ABC中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,D是AB上一点,BD= BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F. 求证：BE垂直平分CD.

答案： 证明:
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠EDB=∠ACB=90°.在Rt△EBC和Rt△EBD中,{BE = BE,BC = BD}
∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL).
∴EC=ED,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∵BD=BC,
∴点B在线段CD的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,
∴BE垂直平分CD.