《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

【例1】把下列各式分解因式：
(1)$2a^{3}-2a(a+1)^{2}$；
(2)$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(3)$a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}$；
(4)$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$。
思路分析：第(1)题先提公因式,再用平方差公式；第(2)题先用平方差公式,再用完全平方公式；第(3)题先用完全平方公式,再用平方差公式；第(4)题观察发现：$(x+1)(x+4)= x^{2}+5x+4$,$(x+2)(x+3)= x^{2}+5x+6$,这两者有明显的数量关系,因此可用换元法分解。
解：(1)$2a^{3}-2a(a+1)^{2}= 2a[a^{2}-(a+1)^{2}]= 2a(a+a+1)(a-a-1)= -2a(2a+1)$。
(2)$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}= (x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}= (x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)= (x+y)^{2}(x-y)^{2}$。
(3)$a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}= (a^{2})^{2}-2\cdot a^{2}\cdot b^{2}+(b^{2})^{2}= (a^{2}-b^{2})^{2}= (a+b)^{2}(a-b)^{2}$。
(4)$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1= [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1= (x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)+1$。
设$x^{2}+5x+4= a$,则$x^{2}+5x+6= a+2$,
$\therefore原式= a(a+2)+1= (a+1)^{2}= (x^{2}+5x+5)^{2}$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}2a^{3}-2a(a + 1)^{2}&=2a[a^{2}-(a + 1)^{2}]\\&=2a[(a+(a + 1))(a-(a + 1))]\\&=2a(2a + 1)(-1)\\&=-2a(2a+1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}&=(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)\\&=(x + y)^{2}(x - y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}&=(a^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+(b^{2})^{2}\\&=(a^{2}-b^{2})^{2}\\&=[(a + b)(a - b)]^{2}\\&=(a + b)^{2}(a - b)^{2}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)+1\\&=[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)]+1\\&=(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)+1\end{aligned}$
设$x^{2}+5x+4 = a$，则$x^{2}+5x+6=a + 2$
$\begin{aligned}原式&=a(a + 2)+1\\&=a^{2}+2a + 1\\&=(a + 1)^{2}\\&=(x^{2}+5x+5)^{2}\end{aligned}$

【例2】已知$2x-y= 8$,$xy= 3$,求$2x^{2}y+8x^{2}y^{2}-xy^{2}$的值。
思路分析：由已知,我们可以建立起关于$x$,$y$的方程组,但此类方程组我们并未学习研究过,因此可以考虑暂时放弃此路径。我们还可以从$2x-y$,$xy$的整体去考虑,因此先分解因式,再代入求值即可。
解：原式$=xy(2x+8xy-y)= xy(2x-y+8xy)$,
当$2x-y= 8$,$xy= 3$时,原式$=3×(8+8×3)= 96$。

答案： 原式 $= 2x^{2}y + 8x^{2}y^{2} - xy^{2}$
$ = xy(2x + 8xy - y)$
$ = xy(2x - y + 8xy)$
代入 $2x - y = 8$ 和 $xy = 3$，
原式 $= 3 × (8 + 8 × 3)$
$ = 3 × (8 + 24)$
$ = 3 × 32$
$ = 96$
故答案为：96。

【例3】根据题中条件求值：
(1)已知$x+y= 1$,求$\frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2}$的值；
(2)已知$x-y= -\frac{2}{3}$,求$(x^{2}+y^{2})^{2}-4xy\cdot(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}$的值。
思路分析：通过把要求的代数式进行变形,变成只含有已知的式子的形式,然后用整体思想来解决问题,这是数学中常用的一种重要的思想方法。
解：(1)$\because x+y= 1$,
$\therefore\frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2}= \frac{1}{2}(x^{2}+2xy+y^{2})= \frac{1}{2}(x+y)^{2}= \frac{1}{2}×1^{2}= \frac{1}{2}$。
(2)$\because x-y= -\frac{2}{3}$,
$\therefore(x^{2}+y^{2})^{2}-4xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}= (x^{2}+y^{2}-2xy)^{2}= (x-y)^{4}= (-\frac{2}{3})^{4}= \frac{16}{81}$。

答案：
(1)
$\because x + y = 1$，
$\therefore \frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2}$
$=\frac{1}{2}(x^{2} + 2xy + y^{2})$
$=\frac{1}{2}(x + y)^{2}$
$=\frac{1}{2}×1^{2}$
$=\frac{1}{2}$
(2)
$\because x - y =-\frac{2}{3}$，
$\therefore (x^{2}+y^{2})^{2}-4xy(x^{2}+y^{2}) + 4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+y^{2}-2xy)^{2}$
$=(x - y)^{4}$
$=(-\frac{2}{3})^{4}$
$=\frac{16}{81}$

1. 下列等式从左到右的变形,属于因式分解且正确的是( )

A.$(x+1)(x-1)= x^{2}-1$
B.$x^{2}-4y^{2}= (x+4y)(x-4y)$
C.$x^{2}-2x+1= x(x-1)+1$
D.$x^{2}-8x+16= (x-4)^{2}$

答案： D