《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

12. 如果一个三角形的一边长为$9cm$,另一边长为$1cm$。
(1)求这个三角形的第三边长的取值范围。
(2)当第三边的长为奇数时,求三角形的周长。

答案： 解:
(1)设第三边的长为xcm.
∵三角形的一边长为9cm,另一边长为1cm,
∴9-1＜x＜9+1,即8＜x＜10.
(2)
∵第三边的长为奇数,
∴第三边的长为9cm.
∴三角形的周长为9+9+1=19(cm).

13. 如图 13 - 13,$D$,$E分别是\triangle ABC的边AB$,$BC$上的点,$AD = 2BD$,$BE = CE$,设$\triangle ADF的面积为S_{1}$,$\triangle CEF的面积为S_{2}$。若$S_{\triangle ABC} = 6$,求$S_{1} - S_{2}$的值。

答案： 解:
∵BE=CE,S△ABC=6,
∴S△AEC=1/2S△ABC=1/2×6=3.
∵AD=2BD,S△ABC=6,
∴S△ACD=2/3S△ABC=4.
∴S₁-S₂=(S△ACD-S△AFC)-(S△AEC-S△AFC)=S△ACD-S△AEC=4-3=1.

14. 如图 13 - 14,$AD平分\angle BAC$,$\angle EAD = \angle EDA$。若$\angle B = 50^{\circ}$,$\angle CAD : \angle E = 1 : 3$,求$\angle E$的度数。

答案： 解:设∠CAD=x,则∠E=3x.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠EAD=∠EDA,
∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD.
∴∠EAC=∠B=50°.
∴∠EAD=∠EDA=x+50°.
在△EAD中,
∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°,
∴3x+2(x+50°)=180°,
解得x=16°.
∴3x=48°,
即∠E=48°.

15. 如图 13 - 15,在$\triangle ABC$中,三个内角的平分线交于点$O$,过点$O作OD \perp OB$,交边$BC于点D$,$\triangle ABC的外角平分线BF与CO的延长线相交于点F$。
(1)求证$BF // OD$。
(2)若$\angle F = 35^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数。

答案：
(1)证明:
∵∠ABC+∠ABE=180°,BF平分∠ABE,BO平分∠ABC,
∴∠ABO+∠ABF=1/2∠ABC+1/2∠ABE=1/2(∠ABC+∠ABE)=90°.
∴∠FBO=90°.
∴BF⊥BO.
又
∵OD⊥OB,
∴BF//OD.
(2)解:
∵BF//OD,
∴∠COD=∠F=35°.
∴∠BOC=90°+35°=125°.
∴∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°.
∵BO,CO分别为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABC+∠ACB=2×55°=110°.
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-110°=70°.

16. 如图 13 - 16①,线段$AB$,$CD相交于点O$。
(1)求证$\angle A + \angle C = \angle D + \angle B$。
(2)如图 13 - 16②,线段$AB$,$CD相交于点O$,$\angle ACD和\angle DBA的平分线相交于点E$,$BE$,$CD相交于点M$,$AB$,$CE相交于点N$。若$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle D = 30^{\circ}$,请结合(1)中的结论,求$\angle E$的度数。

答案：
(1)证明:在△BOD中,∠B+∠D+∠BOD=180°,
在△AOC中,∠AOC+∠A+∠C=180°.
∴∠AOC+∠A+∠C=∠BOD+∠B+∠D.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠D+∠B.
(2)解:由
(1),得∠DBE+∠D=∠E+∠DCE①,∠ECA+∠A=∠EBA+∠E②.
①+②,得∠DBE+∠D+∠ECA+∠A=∠E+∠DCE+∠EBA+∠E.
∵∠ABD与∠ACD的平分线相交于点E,
∴∠DBE=∠EBA,∠ECA=∠DCE.
∴2∠E=∠D+∠A.
∵∠D=30°,∠A=50°,
∴2∠E=30°+50°=80°.
∴∠E=40°.