《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图 14 - 10,$\angle B = \angle C$,$BF = CD$,$BD = CE$,则 $\angle\alpha$ 与 $\angle A$ 的关系是( )

A.$2\angle\alpha + \angle A = 180^{\circ}$
B.$\angle\alpha + \angle A = 90^{\circ}$
C.$\angle\alpha = 180^{\circ} - \angle A$
D.$2\angle\alpha + \angle A = 90^{\circ}$

答案： A　点拨:由△BDF≌△CED,可知∠CED=∠BDF,
∴∠α=180°−∠BDF−∠CDE=180°−∠CED−∠CDE=∠C.又
∵∠B=∠C,
∴∠α= $\frac{1}{2}(180°-∠A)$,
∴2∠α=180°−∠A.即2∠α+∠A=180°.

8. 如图 14 - 11,$\triangle ABC\cong\triangle AEF$,有以下结论：① $AC = AE$；② $\angle FAB = \angle EAB$；③ $EF = BC$；④ $\angle EAB = \angle FAC$。其中正确的结论有( )

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： B

9. 如图 14 - 12,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 50^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,$AD$ 是高,以点 $A$ 为圆心,$AB$ 长为半径画弧,交 $AC$ 于点 $E$,再分别以 $B$,$E$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}BE$ 的长为半径画弧,两弧在 $\angle BAC$ 的内部交于点 $F$,作射线 $AF$,则 $\angle DAF = $ ______。

答案： 10°

10. 如图 14 - 13,小虎用 $10$ 块高度都是 $3cm$ 的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板($AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$),点 $C$ 在 $DE$ 上,点 $A$ 和点 $B$ 分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为 ______ $cm$。

答案： 30

11. 如图 14 - 14,已知点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$。若在 $y$ 轴右侧有一点 $C$ 使得 $\triangle BOC$ 与 $\triangle BOA$ 全等,则点 $C$ 的坐标为 ______。

答案： (2,0)或(2,4)　　点拨:有两种情况，不要漏解.

12. 如图 14 - 15,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$AE$ 是 $BC$ 边的中线,过点 $C$ 作 $CF\perp AE$,垂足为 $F$,过点 $B$ 作 $BD\perp BC$ 交 $CF$ 的延长线于点 $D$。
(1) 求证 $AE = CD$；
(2) 若 $AC = 12cm$,求 $BD$ 的长。

答案：
(1)证明:
∵AC⊥CE,CF⊥AE,
∴∠CAE=∠BCD.
　　在△ACE和△CBD中,
$\begin{cases}∠CAE=∠BCD,\\CA=BC,\\∠ACE=∠CBD,\end{cases}$
∴△ACE≌△CBD,
∴AE=CD.
(2)解:由
(1)△ACE≌△CBD,可知BD=CE,
∵CE= $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$(cm),
∴BD的长为6cm.

13. 如图 14 - 16,在锐角三角形 $ABC$ 中,$AD\perp BC$ 于点 $D$,点 $E$ 在 $AD$ 上,$DE = DC$,$BE = AC$,$F$ 为 $BC$ 的中点,连接 $EF$ 并延长至点 $M$,使 $FM = EF$,连接 $CM$。求证：
(1) $\triangle BDE\cong\triangle ADC$。
(2) $AC\perp MC$。

答案： 证明:
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠BDE=∠ADC=90°.
　　在Rt△BDE和Rt△ADC中,
$\begin{cases}BE=AC,\\DE=DC,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL).
(2)
∵F为BC的中点,
∴BF=CF.
　　在△BFE和△CFM中,
$\begin{cases}BF=CF,\\∠BFE=∠CFM,\\EF=MF,\end{cases}$
∴△BFE≌△CFM(SAS).
∴∠CBE=∠BCM.
∵Rt△BDE≌Rt△ADC,
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CAD=∠BCM.
∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCM+∠ACD=90°,
　　即∠ACM=90°.
∴AC⊥MC.