《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图14-3-13①,当D是边BC的中点时,$S_{△ABD}:S_{△ACD}$= ______.
(2)如图14-3-13②,当AD平分∠BAC时,若AB= m,AC= n,求$S_{△ABD}:S_{△ACD}$的值(用含m,n的式子表示).
(3)如图14-3-13③,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得AD= DE,连接BE. 若AC= 3,AB= 5,$S_{△BDE}$= 10,求$S_{△ABC}$的值.
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答案：

(1)1:1
(2)解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F.
∵AD为∠BAC的平分线,
　　　　　　　　　　　　　
∴DE=DF.
∵AB=m,AC=n,
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}AB\cdot DE$):($\frac{1}{2}AC\cdot DF$)=m:n.
(3)解:
∵AD=DE,
∴由
(1),知S△ABD:S△EBD=1:1.
∵S△BDE=10,
∴S△ABD=10,
∵AC=3,AB=5,AD平分∠CAB,
∴由
(2),知S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3.
∴S△ACD=6.
∴S△ABC=10+6=16.

2. (1)如图14-3-14①,AD平分∠BAC,∠B+∠C= 180°,∠B= 90°,易知DB,DC的数量关系为______.
(2)如图14-3-14②,AD平分∠BAC,∠B+∠ACD= 180°,∠B＜90°,试问(1)中的结论是否仍然成立? 请作出判断并给予证明.
(3)如图14-3-14③,在四边形ABDC中,DB= DC,∠B+∠ACD= 180°,∠B＜90°,DE⊥AB于点E,试判断AB,AC,BE之间的数量关系,并说明理由.
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答案：

(1)DB=DC
(2)结论仍然成立.
证明:如图①,过点D作DE⊥AB于点E,
DF⊥AC于点F.
∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DEB=∠F=90°.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=
180°,
∴∠B=∠FCD.
在△DFC和△DEB中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠FCD=∠B,\\ ∠F=∠DEB,\\ DF=DE,\end{array}\right. $

∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DC=DB.
(3)结论:AB=AC+2BE.
理由:如图②，连接AD,
过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=
180°,
∴∠B=∠FCD,
在△DFC和△DEB中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠F=∠DEB,\\ ∠FCD=∠B,\\ DC=DB,\end{array}\right. $
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DF=DE,CF=BE.
在Rt△ADF和Rt△ADE中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ DF=DE,\end{array}\right. $
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).
∴AF=AE.
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+
BE=AC+2BE.