《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

6. 如图15-1-24,在△ABC中,AB的垂直平分线$l_{1}$交BC于点D,AC的垂直平分线$l_{2}$交BC于点E,$l_{1}与l_{2}$相交于点O,△ADE的周长为6.
(1)求BC的长.
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16,求OA的长.

答案：
(1)
∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE=6.
∴BD+DE+EC=6,即BC=6.
(2)
∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB,同理OA=OC,即OA=OB=OC,
∵△OBC的周长为16,BC=6,
∴OB+OC=10,
∴OB=5,
∴OA=5.

7. 如图15-1-25,在△ABC中,点E是BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE.
(1)若△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,求AB的长.
(2)若$\angle ABC = 35^{\circ}$,$\angle C = 50^{\circ}$,求$\angle CDE$的度数.

答案：
(1)
∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB=BE,AD=DE,
∵△ABC的周长为19,△DEC的周长为7，
∴AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+AD=7,
∴AB+BE=19−7=12,
∴AB=6.
(2)
∵∠ABC=35°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°−35°−50°=95°,在△BAD和△BED中,{BA = BE,BD = BD,DA = DE}
∴△BAD≌△BED(SSS),
∴∠BED=∠BAC=95°,
∴∠CDE=∠BED−∠C=95°−50°=45°.

如图15-1-26,已知在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G. 求证：
(1)BF= CG；
(2)$AF = \frac{1}{2}(AB + AC)$.

答案：
(1)连接BE,CE.
∵AE平分∠BAC,又
∵EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵DE垂直平分BC,
∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中,{EF = EG,EB = EC}
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.
(2)在Rt△AEF和Rt△AEG中,{EF = EG,AE = AE}
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG.又
∵AB+AC=(AF−BF)+(AG+CG)=AF+AG,
∴2AF=AB+AC,即AF=1/2(AB+AC).