《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 若$(2x - m)(x + 1)的运算结果是关于x$的二次二项式,则$m$的值等于( )

A.$-2或0$
B.$2或0$
C.$-2或2$
D.$2或-2或0$

答案： B

2. 如图 16 - 2 - 4 所示,观察下列两个多项式相乘的运算过程：

根据你发现的规律,若$(x + a)(x + b)= x^{2}-7x + 12$,则$a$,$b$的值可能分别是( )

A.$-3$,$-4$
B.$-3$,$4$
C.$3$,$-4$
D.$3$,$4$

答案： A

3. 设$M = (x - 3)(x - 7)$,$N = (x - 2)(x - 8)$,则$M与N$的大小关系为( )

A.$M ＜ N$
B.$M ＞ N$
C.$M = N$
D.不能确定

答案： B

4. 已知$m + n = mn$,则$(m - 1)(n - 1)= $______.

答案： 1

5. 已知$(x + a)(x^{2}-3x + c)的展开式中不含x^{2}和x$项,则$a = $______,$c = $______.

答案： 3；9

6. 计算：
(1)$(2a - 3b)(a + 5b)-7a(a + b)$；
(2)$(x - 1)(2x + 1)-2(x - 5)(x + 2)$.

答案： 解：
(1)$(2a - 3b)(a + 5b)-7a(a + b)=2a^{2}+10ab - 3ab - 15b^{2}-7a^{2}-7ab=-5a^{2}-15b^{2}$；
(2)$(x - 1)(2x + 1)-2(x - 5)(x + 2)=2x^{2}+x - 2x - 1 - 2(x^{2}+2x - 5x - 10)=2x^{2}-x - 1 - 2x^{2}+6x + 20=5x + 19$

7. 试说明代数式$(2x + 1)(1 - 2x + 4x^{2})-x(3x - 1)(3x + 1)+(x^{2}+x + 1)(x - 1)-(x - 3)的值与x$的取值无关.

答案： 解：$(2x + 1)(1 - 2x + 4x^{2})-x(3x - 1)(3x + 1)+(x^{2}+x + 1)(x - 1)-(x - 3)$
$=8x^{3}+1 - 9x^{3}+x + x^{3}-1 - x + 3=3$，所以代数式的值与$x$的取值无关

【创新意识】在学习多项式后,小聪研究了多项式值为 0 的问题,发现当$mx + n = 0或px + q = 0$时,多项式$A = (mx + n)(px + q)= mpx^{2}+(mq + np)x + nq$的值为 0,把此时$x的值称为多项式A$的零点.
(1)已知多项式$(3x + 1)(x - 2)$,则此多项式的零点为______.
(2)已知多项式$B = (x - 1)(bx + c)= ax^{2}-(a - 1)x - \frac{a}{2}有一个零点为1$,求多项式$B$的另一个零点.
(3)小聪继续研究$(x - 3)(x - 1)$,$x(x - 4)及(x - \frac{5}{2})(x - \frac{3}{2})$等,发现在$x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x = 2$对称,他把这些多项式称为“$2$系多项式”. 若多项式$M = (2ax + b)(cx - 5c)= bx^{2}-4cx - 2a - 4$是“$2$系多项式”,则$a = $______,$c = $______.

答案：
(1)$-\frac{1}{3}$或2；
(2)解：因为多项式$B=(x - 1)(bx + c)=ax^{2}-(a - 1)x - \frac{a}{2}$有一个零点为1，将$x=1$代入得$a-(a - 1)-\frac{a}{2}=0$，解得$a=2$，则$B=2x^{2}-x - 1=(x - 1)(2x + 1)$，令$2x + 1=0$，得另一个零点为$-\frac{1}{2}$；
(3)$\frac{1}{2}$；1