《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 【教材 P59 复习题 8 变式】三条公路将 $ A $,$ B $,$ C $ 三个村庄连成一个如图 14 - 3 - 22 所示的三角形区域,如果要修建一个集贸市场,使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场可选的位置有( )

A.1 处


B.2 处
C.3 处
D.4 处

答案： D

2. 如图 14 - 3 - 23,$ O $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点,且点 $ O $ 到三边的距离 $ OF = OD = OE $,若 $ \angle BAC = 70^{\circ} $,则 $ \angle BOC = $______。

答案： 125°　点拨:
∵点O到△ABC的三边的距离OF=OD=OE,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠BAC=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∴∠OBC+∠OCB=55°,
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=125°.

3. 如图 14 - 3 - 24,$ \triangle ABC $ 的三边 $ AB $,$ AC $,$ BC $ 的长分别为 $ 4 $,$ 6 $,$ 8 $,点 $ O $ 为其三条角平分线的交点,则 $ S_{\triangle OAB} ：S_{\triangle OAC} ：S_{\triangle OBC} = $______。

答案： 2:3:4

4. 如图 14 - 3 - 25,$ AB // CD $,点 $ P $ 到 $ AB $,$ BC $,$ CD $ 的距离都相等,则 $ \angle P = $______。

答案： 90°

5. 如图 14 - 3 - 26,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,$ \angle B + \angle AFD = 180^{\circ} $,点 $ F $ 在 $ AC $ 上,$ BD = DF $。求证：
(1) $ AD $ 平分 $ \angle BAC $。
(2) $ AB = AF + 2BE $。

答案：
(1)
∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠BED=90°.
∵∠B+∠AFD=180°,∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠CFD=∠B.
∵∠C=90°,
∴∠C=∠BED,DC⊥AC.
　又
∵DF=DB,
∴△CDF≌△EDB(AAS),
∴DC=DE.
∵DC⊥AC,DE⊥AB,
∴AD平分∠BAC.
(2)
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAB.
∵∠C=∠AED=90°,AD=AD,
∴△CDA≌△EDA(AAS),
∴AE=AC=AF+FC.
　由
(1),得△CDF≌△EDB,
∴CF=BE,
∴AE=AF+FC=AF+BE,
∴AB=AE+EB=AF+2BE.

如图 14 - 3 - 27,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ BC $ 的延长线上,$ \angle ACB = 110^{\circ} $,$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EH \perp BD $,垂足为 $ H $,且 $ \angle CEH = 55^{\circ} $。
(1) $ \angle ACE = $______。
(2) 求证：$ AE $ 平分 $ \angle CAF $。
(3) 若 $ AC + CD = 14 $,$ AB = 8.5 $,且 $ S_{\triangle ACD} = 21 $,则 $ \triangle ABE $ 的面积为______。

答案：

(1)35°
(2)证明:过点E分别作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N.
　　　　　　　　　　　
∵BE平分∠ABC,
∴EM=EH,
∵∠ACE=∠ECH=35°,
∴CE平分∠ACD.
∴EN=EH.
∴EM=EN.
∴AE平分∠CAF.
(3)$\frac{51}{4}$