《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

(1) 根据阅读材料,可知：$\overline {a5}= $____.
(2) 观察运算规律,猜想：$\overline {a5}×\overline {a5}= $____.
(3) 结合以上内容,请你证明(2)中的猜想.
(4) 如果 $b + c = 10$,类比上述探究过程,请你用一个式子表示速算 $\overline {ab}×\overline {ac}$ 的方法,并证明你的结论.

答案：
(1)10a+5
(2)100a(a+1)+25
(3)证明:$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^{2}+100a+25=100a(a+1)+5×5.$
(4)解:当$b+c=10$时,$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
证明:$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^{2}+10ab+10ac+bc=100a^{2}+10a(b+c)+bc.$
$\because b+c=10,$
$\therefore 100a^{2}+10a(b+c)+bc=100a^{2}+100a+bc=100a(a+1)+bc.$
$\therefore \overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$

2. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码. 有一种利用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是：如对于多项式 $x^{4}-y^{4}$,分解因式的结果是 $(x - y)(x + y)(x^{2}+y^{2})$,若取 $x = 9$,$y = 9$,则各因式的值为 $x - y = 0$,$x + y = 18$,$x^{2}+y^{2}= 162$,于是把 018162 作为一个六位数的密码. 对于多项式 $4x^{3}-xy^{2}$,取 $x = 11$,$y = 12$ 时,用上述方法产生的密码是____(写出一个即可).

答案： 113410 点拨:$4x^{3}-xy^{2}=x(4x^{2}-y^{2})=x(2x+y)(2x-y)$.当$x=11,y=12$时,各因式的值为$x=11,2x+y=22+12=34$.$2x-y=22-12=10.$
∴产生的密码为113410.

(1) 根据上述方法,当 $x = 25$,$y = 2$ 时,将多项式 $x^{3}-9xy^{2}$ 分解因式后可以形成的数字密码：____；____；____(写出三个).
(2) 小敏同学设计的多项式为 $a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$,根据上述方法,当 $a = 14$,$b = 2$ 时,写出将多项式 $a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$ 分解因式后形成的八位数的数字密码(写出一个即可).

答案：
(1)251931,253119,192531 点拨:$x^{3}-9xy^{2}=x(x^{2}-9y^{2})=x(x-3y)(x+3y)$.当$x=25,y=2$时,$x-3y=19,x+3y=31.$
∴可得数字密码是251931,253119,192531.(答案不唯一)
(2)$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$.当$a=14,b=2$时,$a+2b=18,a-2b=10$.
∴八位数的数字密码为18181010.(答案不唯一)