《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 有下列运算：①$(2a^{2})^{3}= 6a^{6}$；②$(x^{3}y^{3})^{2}= (xy)^{6}$；③$(\frac{3}{2}a^{2})^{3}= \frac{27}{2}a^{5}$；④$(-3x^{2}y^{2})^{4}= 81x^{8}y^{8}$。其中错误的有( )

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： B

2. 计算$(\underbrace{a\cdot a…\cdot\cdot a}_{a个a})^{3}$的结果是( )


A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$

答案： D

3. 已知$(a^{2}b^{n})^{m}= a^{6}b^{9}$,则$n$的值是( )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$6$

答案： C

4. 已知$a = 2^{13}$,$b = 4^{6}$,$c = 32^{3}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为( )

A.$c\gt a\gt b$
B.$b\gt a\gt c$
C.$a\gt b\gt c$
D.$a\gt c\gt b$

答案： A 点拨:$a=2^{13},b=4^{6}=(2^{2})^{6}=2^{12},c=32^{3}=(2^{5})^{3}=2^{15}$.$\because 15＞13＞12$,$\therefore 32^{3}＞2^{13}＞4^{6}$.$\therefore c＞a＞b$.

5. 比较$2^{55}$,$3^{44}$,$4^{33}$的大小,正确的是( )

A.$2^{55}\lt3^{44}\lt4^{33}$
B.$4^{33}\lt3^{44}\lt2^{55}$
C.$2^{55}\lt4^{33}\lt3^{44}$
D.$3^{44}\lt4^{33}\lt2^{55}$

答案： C 点拨:$2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$,$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$,$4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$.$\because 32＜64＜81$,$\therefore 32^{11}＜64^{11}＜81^{11}$.$\therefore 2^{55}＜4^{33}＜3^{44}$.

6. 若$\vert a - 2\vert+(b+\frac{1}{2})^{2}= 0$,则$a^{2024}b^{2024}$的值为______。

答案： 1 点拨:$\because |a-2|+(b+\frac{1}{2})^{2}=0$,$\therefore a=2$,$b=-\frac{1}{2}$,$a^{2024}b^{2024}=(ab)^{2024}=[2×(-\frac{1}{2})]^{2024}=1$.

7. 计算：
(1)$x^{4}\cdot x^{5}\cdot(-x)^{7}+5(x^{4})^{4}-(x^{8})^{2}$；
(2)$a^{3}\cdot a^{5}+(a^{2})^{4}+(-3a^{4})^{2}$；
(3)$(\frac{12}{5})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2026}×(\frac{1}{2})^{2025}$。

答案：
(1)原式$=x^{9}\cdot(-x^{7})+5x^{16}-x^{16}=-x^{16}+5x^{16}-x^{16}=3x^{16}$；
(2)原式$=a^{8}+a^{8}+9a^{8}=11a^{8}$；
(3)原式$=(\frac{12}{5})^{2024}×(\frac{5}{6})^{2024}×(\frac{5}{6})^{2}×(\frac{1}{2})^{2024}×\frac{1}{2}=(\frac{12}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2})^{2024}×\frac{25}{36}×\frac{1}{2}=1×\frac{25}{72}=\frac{25}{72}$

8. 已知$3^{x + 2}\cdot5^{x + 2}= 15^{3x - 4}$,求$(x - 1)^{2}-3x(x - 2)-4$的值。

答案： 解:$\because 3^{x+2}\cdot5^{x+2}=15^{x+2}=15^{3x-4}$,$\therefore x+2=3x-4$,解得$x=3$.$\therefore (x-1)^{2}-3x(x-2)-4=(3-1)^{2}-3× 3×(3-2)-4=4-9-4=-9$.

【推理能力】规定：若两数$a$,$b满足a^{m}= b$,则记为$(a,b)= m$。例如：因为$2^{3}= 8$,所以记为$(2,8)= 3$。我们还可以利用该规定来说明等式$(3,3)+(3,9)= (3,27)$成立,理由如下：设$(3,3)= m$,$(3,9)= n$,则$3^{m}= 3$,$3^{n}= 9$,故$3^{m}×3^{n}= 3^{m + n}= 3×9 = 27$,则$(3,27)= m + n$,即$(3,3)+(3,9)= (3,27)$。
(1) 根据上述规定填空：$(6,36)= $______。
(2) 如果$(3,m + 17)= 4$,$(4,m)= n$,那么$(5,$_________$)= n$。
(3) 若$(3^{n},2^{n})= s$,$(3,2)= t$,请说明$s与t$的关系.($n$为正整数)

答案：
(1)2；
(2)125 点拨:根据材料,知由$(3,m+17)=4$,可得$3^{4}=m+17$,$\therefore m=64$,由$(4,m)=n$,可得$4^{n}=m=64$,即$n=3$,$\therefore 5^{n}=5^{3}=125$；
(3)解:$\because (3^{n},2^{n})=s$,$\therefore 3^{ns}=2^{n}$.$\because (3,2)=t$,$\therefore 3^{t}=2$,$\therefore 3^{tn}=2^{n}$,$\therefore 3^{ns}=3^{tn}$,$\therefore s=t$