《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 把 $(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$ 分解因式的结果是( )

A.$(a^{2}+1-4a)^{2}$
B.$(a^{2}+1+2a)(a^{2}+1-2a)$
C.$(a+1)^{2}(a-1)^{2}$
D.$(a^{2}-1)^{2}$

答案： C

2. 小敏做了如下四道分解因式题：你认为她做得不完整的是( )

A.$a^{3}-a= a(a^{2}-1)$
B.$m^{2}-2mn+n^{2}= (m-n)^{2}$
C.$x^{2}y-xy^{2}= xy(x-y)$
D.$x^{2}-y^{2}= (x-y)(x+y)$

答案： A

3. 已知 $m^{2}+n^{2}+10= 6m-2n$,则 $m-n= $______。

答案： 4 点拨:m²+n²+10=6m-2n,
∴m²+n²+10-6m+2n=0,即(m-3)²+(n+1)²=0,
∴m=3,n=-1,
∴m-n=3-(-1)=4.

4. 分解因式：
(1)$x^{2}y^{2}+xy+\frac{1}{4}$；
(2)$36(m+n)^{2}-12(m^{2}-n^{2})+(m-n)^{2}$。

答案： 解:
(1)原式=(xy)²+2×½xy+(½)²=(xy+½)².
(2)原式=[6(m+n)-(m-n)]²=(6m+6n-m+n)²=(5m+7n)².

5. 若一个三角形的三边长 $a$,$b$,$c$ 满足 $a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+2bc$,试判断该三角形的形状。

答案： 解:
∵a²+2b²+c²=2ab+2bc,
∴a²+c²+2b²-2ab-2bc=0,
∴(a²+b²-2ab)+(c²+b²-2bc)=0,
∴(a-b)²+(b-c)²=0.由平方的非负性,可知{a-b=0,b-c=0,
∴{a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴该三角形是等边三角形.

【阅读理解】已知二次三项式 $x^{2}-4x+m$ 有一个因式是 $x+3$,求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x+n$,
得 $x^{2}-4x+m= (x+3)(x+n)$,
则 $x^{2}-4x+m= x^{2}+(n+3)x+3n$。
$\therefore n+3= -4,m= 3n$。
解得 $n= -7,m= -21$。
$\therefore$ 另一个因式为 $x-7$,$m$ 的值为 $-21$。
(1)若二次三项式 $x^{2}-5x+6$ 可分解为 $(x-2)·(x+a)$,则 $a= $______。
(2)若二次三项式 $2x^{2}+bx-5$ 可分解为 $(2x-1)(x+5)$,则 $b= $______。
(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 $2x^{2}+5x-k$ 有一个因式是 $2x-3$,求另一个因式以及 $k$ 的值。

答案：
(1)-3
(2)9
(3)设另一个因式为x+n,得2x²+5x-k=(2x-3)(x+n),
∴2x²+5x-k=2x²+(2n-3)x-3n.
∴{2n-3=5,3n=k,
∴{n=4,k=12.即另一个因式为x+4,k=12.