《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图 15 - 3 - 40,直线$l// m$,等边三角形$ABC的两个顶点B$,$C分别落在直线l$,$m$上,若$\angle ABE = 21^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数是( )

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$



C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： B

2. 如图 15 - 3 - 41,已知$\triangle ABC$是等边三角形,$AB = AD$,且$AC\perp AD$,垂足为$A$,则$\angle BEC$的度数为______。

答案： 75° 点拨：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°.
∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D=
$\frac{180°-\angle BAD}{2}=15°$，
∴∠BEC=∠ABD+∠BAC=15°+60°=75°.

3. 三个等边三角形的位置如图 15 - 3 - 42,若$\angle 3 = 50^{\circ}$,则$\angle 1 + \angle 2 = $______。

答案： 130°

4. 如图 15 - 3 - 43 所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为点$G$,且$AD = AB$,$\angle EDF = 60^{\circ}$,其两边分别交边$AB$,$AC于点E$,$F$,连接$BD$。求证：
(1)$\triangle ABD$是等边三角形。
(2)$BE = AF$。

答案： 证明：
(1)
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}\angle BAC$.
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle DBE=\angle DAF=60°,\\ BD=AD,\\ \angle BDE=\angle ADF,\end{array}\right.$
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF.

如图 15 - 3 - 44①,在等边三角形$ABC$中,$D是边AB$上的动点,以$CD$为一边,向上作等边三角形$EDC$,连接$AE$。
(1)$\triangle DBC和\triangle EAC$全等吗？请说明理由。
(2)求证$AE// BC$。
(3)如图 15 - 3 - 44②,动点$D运动到边BA$的延长线上,$\triangle EDC$仍为等边三角形,请问是否仍有$AE// BC$？证明你的猜想。

答案：
(1)解：△DBC≌△EAC.
理由：
∵△ABC，△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE.
在△DBC和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l}BC=AC,\\ \angle BCD=\angle ACE,\\ DC=EC,\end{array}\right.$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
(2)证明：
∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60°.
又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
(3)解：仍有AE//BC.
证明：
∵△ABC，△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE.
在△DBC和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l}BC=AC,\\ \angle BCD=\angle ACE,\\ DC=EC,\end{array}\right.$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°.
又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.