《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图 14 - 2 - 54,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为AB$上一点,且$BD = BC$,过点$D作DE\perp AB交AC于点E$。若$DE = 2$,$AC = 5$,则$AE$的长是( )

A.4


B.3
C.3.5
D.2.5

答案： B

2. 如图 14 - 2 - 55,$\angle ADB = \angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BD$,$AC$、$BD相交于点O$,给出下列五个结论：①$AD = BC$；②$\angle DBC = \angle CAD$；③$AO = BO$；④$AB// CD$；⑤$DO = CO$。其中正确的有______。(填序号)

答案： ①②③④⑤

3. 如图 14 - 2 - 56,已知$AD\perp BC于点D$,$BE交AD于点F$,且$BF = AC$,$FD = CD$。求证：
(1)$\triangle BDF≌\triangle ADC$；
(2)$BE\perp AC$。

答案：
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠BDF=∠ADC=90°,
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l} BF=AC,\\ DF=DC,\end{array}\right.$
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
(2)
∵∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠C=90°.
∵Rt△BDF≌Rt△ADC,
∴∠FBD=∠CAD,
∴∠FBD+∠C=90°,
∴∠BEC=180°−(∠FBD+∠C)=90°,
∴BE⊥AC.

如图 14 - 2 - 57,点$P的坐标为(2,2)$,点$A在x$轴正半轴上运动,点$B在y$轴负半轴上运动,且$PA = PB$。
(1)求证$PA\perp PB$。
(2)若点$A的坐标为(8,0)$,则点$B$的坐标为______。
(3)求$OA - OB$的值。

答案：

(1)证明:如图,过点P作PE⊥x轴于点E,PF ⊥y轴于点F,
则∠PFO=∠PEO=90°.
∵∠FOE=90°,

∴FP//OA.
∴∠EPF=90°.
∵P(2,2),
∴PE=PF=2.
在Rt△APE和Rt△BPF中,$\left\{\begin{array}{l} PA=PB,\\ PE=PF,\end{array}\right.$
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL).
∴∠APE=∠BPF.
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°.
∴PA⊥PB.
(2)(0,−4)
(3)解:
∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF.
∵AE=OA−OE=OA−2,
BF=OB+OF=OB+2,
∴OA−2=OB+2.
∴OA−OB=4.