《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

6. 如图15-3-14,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,$E为边BC$上的任意一点,$D为线段BE$的中点,$AB= AE$,$EF\perp AE$,$AF// BC$。求证：
(1)$∠DAE= ∠C$；
(2)$AF= BC$。

答案： 证明：
(1)
∵AB=AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，BD=ED，
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD.
∵AB=AE，BD=ED，
∴∠BAD=∠DAE，
∴∠DAE=∠C.
(2)
∵AF//BC，
∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=∠BAC=90°.在△ABC和△EAF中，$\left\{\begin{array}{l} \angle B=\angle FAE,\\ AB=EA,\\ \angle BAC=\angle AEF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△EAF(ASA)，
∴AF=BC.

1. 如图15-3-15,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AB的垂直平分线交AB于点N$,交$BC的延长线于点M$。
(1)若$∠A= 30^{\circ}$,求$∠NMB$的度数。
(2)如果将(1)中$∠A的度数改为80^{\circ}$,其余条件不变,则$∠NMB$的度数为 。
(3)你发现$∠A与∠NMB$有什么数量关系,写出你的结论并说明理由。

答案： 解：
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°.
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-75°=15°.
(2)40°
(3)∠NMB=$\frac{1}{2}\angle A$.理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}\angle A$.
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-$(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$)=$\frac{1}{2}\angle A$.

2. 如图15-3-16,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$∠B= 40^{\circ}$,点$D在线段BC$上运动(点$D与B$,$C$两点不重合),连接$AD$,作$∠ADE= 40^{\circ}$,$DE交线段AC于点E$。
(1)当$∠BDA= 115^{\circ}$时,$∠BAD= $ ；当点$D从点B向点C$运动时,$∠BDA$逐渐变 (填“大”或“小”)。
(2)当$\triangle ABD\cong\triangle DCE$时,求$∠BAD$的度数。
(3)在点$D$运动的过程中,$\triangle ADE$的形状也在改变。请判断当$∠BDA$等于多少度时,$\triangle ADE$是等腰三角形(直接写出结论,不用说明理由)。

答案： 解：
(1)25° 小
(2)
∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，∠BAC=180°-40°×2=100°.
∵△ABD≌△DCE，
∴AD=DE.
∴∠DAE=∠DEA.
∵∠ADE=40°，
∴∠DAE=∠DEA=70°.
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°.
(3)当∠BDA=110°或∠BDA=80°时，△ADE是等腰三角形.