《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

【例1】如图15-1,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中,∠C= 90°,AC= 8cm,DE= 10cm,BC= 6cm.
(1)连接AD,则线段AD与直线MN的关系是什么?

(2)求∠F的度数.
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
思路分析:关于直线对称的对应线段相等,对应图形全等.
解:(1)∵△ABC与△DEF关于直线MN对称,
∴直线MN垂直平分线段AD.
(2)∵△ABC与△DEF关于直线MN对称,∴△ABC≌△DEF,
∴∠F= ∠C= 90°.
(3)∵DE= 10cm,△ABC≌△DEF,
∴AB= DE= 10cm.
又∵AC= 8cm,BC= 6cm,
∴△ABC的周长= 6+8+10= 24(cm).
易知△DEF的面积= △ABC的面积= $\frac{1}{2}$×6×8= 24(cm^2).

答案：
(1)直线MN垂直平分线段AD.
(2)∠F= 90°.
(3)△ABC的周长= 24cm，△DEF的面积= 24cm².

【例2】如图15-2,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)画出△ABC关于x轴对称的$△A_1B_1C_1.$
(2)分别写出对应点$A_1,B_1,C_1$的坐标.
(3)请在图中的x轴上找一点P,使得PA+PB的值最小,并直接写出点P的坐标.
思路分析:(1)两点关于x轴对称,横坐标相同,纵坐标互为相反数；关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相同.

解:(1)如图$15-2,△A_1B_1C_1$即为所求.
$(2)A_1(1,-1),B_1(4,-2),C_1(3,-4).$
(3)如图15-2,连接$A_1B$交x轴于点P,点P的坐标为(2,0).

答案：
(1)如图15-2,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)A₁(1,-1),B₁(4,-2),C₁(3,-4).
(3)点P的坐标为(2,0).

【例3】如图15-3,在△ABC中,∠BAC= 108°,AB= AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证BC= AB+CD.
思路分析:如果题干中出现了几条线段之间的和差关系,一般考虑用截长补短作辅助线解题.
与角平分线有关的截长补短模型展示
| |角平分线+截长|角平分线+补短|
|模型|||
|条件|∠1= ∠2,∠B= 2∠C|∠1= ∠2,∠ABC= 2∠C|
|结论|AC= AB+BD|AC= AB+BD|

证明:方法一:(截长法)在BC上取点E,使BE= BA,连接DE.

∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD= ∠EBD.
在△ABD和△EBD中,
$\begin{cases}AB= EB,\\∠ABD= ∠EBD,\\BD= BD,\end{cases} $
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC= ∠BED= 108°.
∴∠DEC= 72°.
∵AB= AC,∠BAC= 108°,
∴∠C= ∠ABC= 36°.
∴∠CDE= 72°.
∴∠CDE= ∠CED.∴CD= CE.
∴BC= BE+EC= AB+CD.
方法二:(补短法)延长BA至点F,使BF= BC,连接DF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD= ∠FBD.
在△FBD和△CBD中,
$\begin{cases}FB= CB,\\∠FBD= ∠CBD,\\BD= BD,\end{cases} $
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF= DC,∠F= ∠C.
∵AB= AC,∠BAC= 108°,
∴∠C= ∠ABC= 36°,∠FAD= 72°.
∴∠F= 36°.∴∠FDA= 72°.
∴∠FDA= ∠FAD.
∴FA= FD.∴CD= DF= AF.
∴BC= BF= AB+AF= AB+CD.

答案： 方法一:(截长法)在BC上取点E,使BE= BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD= ∠EBD.
在△ABD和△EBD中,
$\begin{cases}AB= EB,\\∠ABD= ∠EBD,\\BD= BD,\end{cases} $
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC= ∠BED= 108°.
∴∠DEC= 72°.
∵AB= AC,∠BAC= 108°,
∴∠C= ∠ABC= 36°.
∴∠CDE= 72°.
∴∠CDE= ∠CED.
∴CD= CE.
∴BC= BE+EC= AB+CD.
方法二:(补短法)延长BA至点F,使BF= BC,连接DF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD= ∠FBD.
在△FBD和△CBD中,
$\begin{cases}FB= CB,\\∠FBD= ∠CBD,\\BD= BD,\end{cases} $
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF= DC,∠F= ∠C.
∵AB= AC,∠BAC= 108°,
∴∠C= ∠ABC= 36°,∠FAD= 72°.
∴∠F= 36°.
∴∠FDA= 72°.
∴∠FDA= ∠FAD.
∴FA= FD.
∴CD= DF= AF.
∴BC= BF= AB+AF= AB+CD.