《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图14-2-8,已知$AB// CD$,$AB= CD$,$AE= FD$,则图中的全等三角形有( )

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： C

2. 如图14-2-9,$AD= AE$,$BE= CD$,$\angle ADB= \angle AEC$,$\angle AEC= 100^{\circ}$,$\angle BAE= 60^{\circ}$,那么$\angle CAE= $____。

答案： $40^{\circ }$点拨:易证△ABE≌△ACD,则∠B=∠C,∠CAD=∠BAE=60°.又
∵∠AEC=100°,
∴∠B=40°,
∴∠CAE=180°-∠AEC-∠C=40°.

3. 如图14-2-10,已知点$P是AB$的中点,$PC= PD$,$AC$、$BD相交于点E$。若$\angle APD= \angle BPC= \angle CPD$,$\angle A= 40^{\circ}$,则$\angle D= $____,$\angle AED= $____。

答案： $20^{\circ }$ $80^{\circ }$点拨:易证△APC≌△BPD,
∵∠APD=∠BPC=∠CPD,
∴∠APD=∠BPC=∠CPD=60°,
∴∠D=∠C=180°-∠A-∠APC=20°,∠AED=∠A+∠B=2∠A=80°.

4. 如图14-2-11,点$C在线段AD$上,$AB= AD$,$\angle B= \angle D$,$BC= DE$。
(1) 求证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
(2) 若$AB= 8$,$AE= 5$,求$CD$的长。

答案：
(1)证明:在△ABC和△ADE中,$\left\{\begin{array}{l} BC=DE,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)解:由
(1),得△ABC≌△ADE,
∵AE=5,
∴AC=AE=5,AB=AD,
∵AB=8,
∴CD=AD-AC=AB-AC=3.

如图14-2-12①,$AB= 7cm$,$AC\perp AB$,$BD\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$,$AC= 5cm$。点$P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B$运动,同时,点$Q在射线BD$上运动。它们运动的时间为$ts$,当点$P$运动结束时,点$Q$运动随之结束。
(1) 若点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,则当$t= 1$时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等？请说明理由。
(2) 如图14-2-12②,若“$AC\perp AB$,$BD\perp AB$”改为“$\angle CAB= \angle DBA= 60^{\circ}$”,点$Q的运动速度为xcm/s$,其他条件不变,当点$P$,$Q$运动到某处时,有$\triangle ACP与\triangle BPQ$全等,求出相应的$x$,$t$的值。

答案： 解:
(1)△ACP≌△BPQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
∵点P,Q的运动速度相等,
∴当t=1时,AP=BQ=2cm.
∴BP=AB-AP=5cm.
∴BP=AC.在△ACP和△BPQ中,$\left\{\begin{array}{l} AP=BQ,\\ ∠A=∠B,\\ AC=BP,\end{array}\right. $
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
(2)
∵7÷2=3.5(s),
∴0＜t≤3.5.①当AC=BP,AP=BQ时,△ACP≌△BPQ.则5=7-2t,2t=xt,解得x=2,t=1;②当AC=BQ,AP=BP时,△ACP≌△BQP.则5=xt,2t=7-2t,解得$x=\frac {20}{7},t=\frac {7}{4}.$综上所述,当x=2,t=1或$x=\frac {20}{7},t=\frac {7}{4}$时,△ACP与△BPQ全等.