《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 若$(x - 2y)^2 = x^2 - xy + 4y^2 + M$,则$M$的值为( )

A.$xy$
B.$-xy$
C.$3xy$
D.$-3xy$

答案： D 点拨:根据完全平方公式,可得$(x-2y)^{2}=x^{2}-4xy+4y^{2}$,则$M=-3xy$.

2. 若$a^2 + (m - 3)a + 4$是一个完全平方式,则$m$的值应是( )

A.1 或 5
B.1
C.7 或 -1
D.-1

答案： C 点拨:完全平方公式:$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$.根据公式,可得$m-3=\pm 2×2$,解得$m=7$或$m=-1$.

3. 若$(y - 5a)^2 = y^2 + 10y + 25b$,则$b$的值为( )

A.-2
B.2
C.1
D.-1

答案： C

4. 已知$a + b = 5$,$ab = -2$,则$a^2 + b^2$的值为______。

答案： 29

5. 已知$mn = 2$,则$(m + n)^2 - (m - n)^2$的值是______。

答案： 8

6. 如图 16-3-3,在长为$3m + 2n$,宽为$3m - 2n$的长方形铁片上,挖去边长为$2(m - n)$的小正方形铁片,则剩余部分的面积为______。

答案： $5m^{2}+8mn-8n^{2}$

7. 已知多项式$A = (x + 2)^2 - (x - 1)(2 + x)$。
(1)化简多项式$A$；
(2)若$(x + 1)^2 - x^2 = -3$,求$A$的值。

答案： 解:
(1)$A=x^{2}+4x+4-(2x+x^{2}-2-x)=x^{2}+4x+4-(x^{2}+x-2)=x^{2}+4x+4-x^{2}-x+2=3x+6$
(2)$\because (x+1)^{2}-x^{2}=-3$.即$x^{2}+2x+1-x^{2}=-3$,$\therefore 2x+1=-3$.$\therefore x=-2$.当$x=-2$时,$A=3×(-2)+6=0$.

8. 若$x + y = 6$,且$(x + 2)(y + 2) = 24$。
(1)求$xy$的值；
(2)求$x^2 + 3xy + y^2$的值。

答案： 解:
(1)$\because x+y=6$,$(x+2)(y+2)=24$,$\therefore xy+2(x+y)+4=24$,$\therefore xy+2×6+4=24$,$\therefore xy=8$.
(2)$x^{2}+3xy+y^{2}=(x+y)^{2}+xy=6^{2}+8=44$.

我们知道,对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式。
例如：由图 16-3-4①可得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

(1)写出图 16-3-4②所表示的数学等式：______。
(2)利用上述结论,解决下列问题：已知$a + b + c = 11$,$bc + ac + ab = 38$,求$a^2 + b^2 + c^2$的值。

答案： 解:
(1)$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$.
(2)由
(1)可得$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-(2ab+2bc+2ac)=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)=11^{2}-2×38=45$.