《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图 13 - 2 - 13,在$△ABC$中,已知点 D、E、F 分别为边 BC、AD、CE 的中点,且$S_{△ABC} = 4cm^{2}$,则$S_{阴影}$等于( )

A.$2cm^{2}$



B.$1cm^{2}$
C.$\frac{1}{2}cm^{2}$
D.$\frac{1}{4}cm^{2}$

答案： B　点拨:
∵$ S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BAC} $，
∴$ S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=\frac{1}{4}S_{\triangle BAC}=1\mathrm{cm}^2 $.

2. 【教材 P10 习题 7 变式】如图 13 - 2 - 14,$AB⊥BD$于点 B,$AC⊥CD$于点 C,且 AC 与 BD 相交于点 E. 已知$AE = 5$,$DE = 2$,$CD = \frac{9}{5}$,则 AB 的长为______.

答案： $ \frac{9}{2} $

3. 如图 13 - 2 - 15 所示,在$△ABC$中,$∠B = 30^{\circ}$,$∠ACB = 110^{\circ}$,AD 是 BC 边上的高,AE 平分$∠BAC$,则$∠DAE$的度数为______.

答案： $ 40° $

4. 如图 13 - 2 - 16,在$△ABC$中,$AB = AC$,BE 是腰 AC 上的中线.
(1)若$△ABE的周长比△BCE$的周长多 2,且 AB 与 BC 的和为 10,求 AB,BC 的长.
(2)若$△ABC的周长为20cm$,BE 将$△ABC分成周长差为4cm$的两部分,求$△ABC$的边长.

答案： 解:
(1)
∵BE是△ABC的中线，
∴△ABE的周长与△BCE的周长之差为AB - BC，
∴$ AB - BC=2 $.
　又
∵AB与BC的和为10，即$ AB + BC=10 $，
　解得$ AB=6 $，$ BC=4 $.
(2)设$ AB=x\mathrm{cm} $，$ BC=y\mathrm{cm} $.
　①当$ x＞y $时，根据题意，得$ \begin{cases}2x + y=20, \\x - y=4,\end{cases} $解得$ \begin{cases}x=8, \\y=4.\end{cases} $
∴△ABC的三边长分别为8cm，8cm，4cm；
　②当$ x＜y $时，根据题意，得$ \begin{cases}2x + y=20, \\y - x=4,\end{cases} $解得$ \begin{cases}x=\frac{16}{3}, \\y=\frac{28}{3}.\end{cases} $
∴△ABC的三边长分别为$ \frac{16}{3}\mathrm{cm} $，$ \frac{16}{3}\mathrm{cm} $，$ \frac{28}{3}\mathrm{cm} $.

如图 13 - 2 - 17①,在$△ABC$中,$AB = AC$,D 为 BC 边上一点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F.
(1)请作出 AC 边上的高 BG.
(2)请你通过观察、测量找到 DE,DF,BG 之间的数量关系：______.
(3)为了说明 DE,DF,BG 之间的数量关系,小琦是这样做的：连接 AD,则$S_{△ADC} = $______,$S_{△ABD} = $______,$\therefore S_{△ABC} = $______,$S_{△ABC}$还可以表示为______.
(4)当 D 在如图 13 - 2 - 17②的位置时,上面 DE,DF,BG 之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由.

答案：
解:
(1)如图①，BG即为所求.
　　　
(2)$ BG=DE + DF $
(3)$ \frac{1}{2}AC\cdot DF $　$ \frac{1}{2}AB\cdot DE $　$ \frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF $　$ \frac{1}{2}AC\cdot BG $
(4)仍然成立，理由:如图②，连接AD，
∵$ DE\perp AB $，$ DF\perp AC $，$ AB=AC $，
∴$ S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}AC\cdot(DE + DF) $，
∵$ BG\perp AC $，
∴$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BG $，
∴$ BG=DE + DF $.