《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

【例 1】如图 13 - 1,$\angle B = 42^{\circ}$,$\angle C = 52^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,求$\angle DAC$的度数。
思路分析：利用三角形的内角和等于$180^{\circ}$,先求出$\angle BAC$的度数,然后利用角平分线的性质求出$\angle DAC$的度数。

解：由三角形的内角和定理,可得$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 42^{\circ} - 52^{\circ} = 86^{\circ}$。
$\because AD平分\angle BAC$,
$\therefore \angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} × 86^{\circ} = 43^{\circ}$。

答案： 解：在△ABC中，由三角形内角和定理得，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 42° - 52° = 86°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC = 1/2∠BAC = 1/2×86° = 43°。
答：∠DAC的度数为43°。

【例 2】如图 13 - 2,在$\triangle ABC$中,$\angle C = \angle ABC = \frac{3}{2}\angle A$,$BD是边AC$上的高,求$\angle DBC$的度数。
思路分析：当问题中角度关系较为复杂时,可通过设元,寻找已知与未知间的等量关系,构造方程实现未知向已知的转化。
解：设$\angle A = x^{\circ}$,则$\angle C = \angle ABC = \frac{3}{2}x^{\circ}$。

$\because \angle A + \angle C + \angle ABC = 180^{\circ}$,即$x + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x = 180$,解得$x = 45$,
$\therefore \angle A = 45^{\circ}$,$\angle C = 67.5^{\circ}$。
$\because BD是边AC$上的高,
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle DBC = 90^{\circ} - \angle C = 22.5^{\circ}$。

答案： 解：设$\angle A = x^{\circ}$，则$\angle C = \angle ABC = \frac{3}{2}x^{\circ}$。
$\because \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
$\therefore x + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x = 180$，
解得$x = 45$，
$\therefore \angle C = \frac{3}{2} × 45^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
$\because BD$是边$AC$上的高，
$\therefore \angle BDC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC = 180^{\circ} - \angle BDC - \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
答：$\angle DBC$的度数为$22.5^{\circ}$。

【例 3】已知$AD$,$AE分别是\triangle ABC中边BC$上的高和中线,且$AD = 6$,$ED = 3$,$CD = 2$,求$\triangle ABC$的面积。
思路分析：涉及三角形高的问题时,如果题目没有给出图形,一定要画出图形,然后分类讨论。
解：如图 13 - 3①,当高$AD在\triangle ABC$的内部时,则$EC = ED + CD = 5$,$\therefore BC = 2EC = 10$。
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$；
如图 13 - 3②,当高$AD在\triangle ABC$的外部时,则$EC = ED - CD = 1$,$\therefore BC = 2EC = 2$。
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$。

答案： 情况一：高$AD$在$\triangle ABC$内部
$\because AE$是中线，$\therefore E$为$BC$中点，$BE = EC$。
$\because ED = 3$，$CD = 2$，$\therefore EC = ED + CD = 3 + 2 = 5$。
$\therefore BC = 2EC = 2×5 = 10$。
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×10×6 = 30$。
情况二：高$AD$在$\triangle ABC$外部
$\because AE$是中线，$\therefore E$为$BC$中点，$BE = EC$。
$\because ED = 3$，$CD = 2$，$\therefore EC = ED - CD = 3 - 2 = 1$。
$\therefore BC = 2EC = 2×1 = 2$。
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2×6 = 6$。
结论：$\triangle ABC$的面积为$30$或$6$。

1. 若某三角形的三边长分别为$3$,$4$,$m$,则$m$的值可以是( )

A.$1$
B.$5$
C.$7$
D.$9$

答案： B

2. 如图 13 - 4,$CD$,$CE$,$CF分别是\triangle ABC$的高、角平分线、中线,则下列结论中错误的是( )


A.$BA = 2BF$
B.$\angle ACE = \frac{1}{2}\angle ACB$
C.$AE = BE$
D.$CD \perp AB$

答案： C