《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

1. 若一个三角形三个内角的度数比为$1:2:6$,则该三角形最大的外角为( )

A.$108^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$160^{\circ}$
D.$162^{\circ}$

答案： C

2. 如图 13 - 3 - 35 所示,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,沿$CD折叠\triangle CBD$,使点$B恰好落在边AC上点E$处,若$∠B = 65^{\circ}$,则$∠ADE$的度数为( )

A.$40^{\circ}$


B.$50^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
]

答案： A

3. 某机器零件的横截面如图 13 - 3 - 36,按要求线段$AB和DC$的延长线相交成直角才算合格,一工人测得$∠A = 23^{\circ}$,$∠D = 31^{\circ}$,$∠AED = 143^{\circ}$,则判断该零件______(填“合格”或“不合格”)。

答案： 不合格 点拨：延长AE交CD于点F，
∴∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°=112°，线段AB和DC的延长线相交的角为∠AFD-∠A=112°-23°=89°≠90°.

4. 如图 13 - 3 - 37,则$∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = $______。
]

答案： 180° 点拨：
∵∠DMO是△CME的一个外角，
∴∠DMO=∠C+∠E.
同理，可得∠DOM=∠A+∠B.
又
∵∠DMO+∠DOM+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

【探究拓展】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段,回答所提出的问题。
(1)探究 1：如图 13 - 3 - 38①所示,在$\triangle ABC$中,$P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP$的交点,试分析$∠A与∠BPC$有什么数量关系？并说明理由。
(2)探究 2：如图 13 - 3 - 38②所示,已知$\triangle ABC$,$P是∠ABC与外角∠ACD的平分线BP和CP$的交点,试分析$∠BPC与∠A$有怎样的数量关系？并说明理由。
(3)探究 3：如图 13 - 3 - 38③所示,已知$\triangle ABC$,$P是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP$的交点,直接写出$∠BPC与∠A$之间的数量关系为______。
]

答案： 解：
(1)∠A=2∠BPC-180°.理由如下：
∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB.
在△ABC中，∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°，
∴∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180°.
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC，
∴∠A+2(180°-∠BPC)=180°，
∴∠A=2∠BPC-180°.
(2)∠A=2∠BPC.理由如下：
∵P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠PBC，
∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∴2(∠BPC+∠PBC)=∠A+2∠PBC，
∴∠A=2∠BPC.
(3)∠A=180°-2∠BPC 点拨：
∵P是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点，
∴∠CBD=2∠PBC，∠BCE=2∠PCB，
∴∠ABC=180°-∠CBD=180°-2∠PBC，∠ACB=180°-∠BCE=180°-2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=360°-2(∠CBP+∠BCP).
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2(∠CBP+∠BCP)=∠A+180°.在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC，
∴2(180°-∠BPC)=∠A+180°，
∴∠A=180°-2∠BPC.