《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

活动一 牧民饮马问题及拓展
1. 直线 $ l $ 是一条河,$ P $,$ Q $ 是两个村庄. 计划在 $ l $ 上的某处修建一个水泵站 $ M $,向 $ P $,$ Q $ 两地供水. 现有如下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道),则所需管道最短的是( )

2. 在如图 1 所示的 $ 4 × 4 $ 的正方形网格中,有 $ A $,$ B $ 两点,在直线 $ a $ 上求一点 $ P $,使 $ PA + PB $ 的值最小,则点 $ P $ 应选在( )
A. $ C $ 点 B. $ D $ 点 C. $ E $ 点 D. $ F $ 点


3. 唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图 2 所示,在平面直角坐标系中,将军从 $ A(4,0) $ 出发,先到山脉 $ m $ 的任意位置望烽火,再到河岸 $ n $ 的任意位置饮马后返回到 $ A $ 点,且 $ m $ 与 $ n $ 的夹角为 $ 30^{\circ} $,则将军所走的最短总路程为( )
A. $ 4 $ B. $ 6 $ C. $ 8 $ D. $ 12 $
4. 如图 3,牧羊人从羊圈 $ A $ 出发,先让羊群在草地 $ m $ 上吃草,再让羊群去河流 $ l $ 处饮水,再将羊群带到点 $ B $ 处休息. 请你帮牧羊人确定最短的出行路线.


5. 如图 4,阳光明媚的周六,小明在学校($ A $)练习篮球,他接到妈妈的电话,要先去 $ C $ 街快递公司取包裹,再去 $ D $ 街购买文具,然后回到家里($ B $). 若小明走的恰好是最短路径,请画出小明行走的最短路径.
活动二 造桥选址问题
6. 直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 表示一条河的两岸,且 $ l_1 // l_2 $. 现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),使得从村庄 $ P $ 经桥过河到村庄 $ Q $ 的路程最短,应该选择路线( )

7. 如图 5 所示,某条护城河在 $ CC' $ 处直角转弯,河宽相同,从 $ A $ 处到达 $ B $ 处,须经过两座桥(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的,恰当地造桥可使 $ A $ 到 $ B $ 的路程最短,请确定两座桥的位置.

答案：
1.D　2.A　3.A 4.解:如图，牧羊人应让羊群在点C处吃草，在点D 处饮水，才能使出行路线最短。 5.解:如图，AE - EF - FB即为所求最短路径。 6.C 7.解:如图所示。 将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；连接GF，与河岸相交于点E'，D'；过点D'作DD'⊥CD于点D，过点E'作E'E⊥CE于点E，连接AD，BE，则DD'，EE'即为两桥的位置。