《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

13. 计算下列各式：
(1)$1-\frac{1}{2^{2}}= $______；
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})= $______；
(3)$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})= $______；
(4)请你用简便方法计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×(1-\frac{1}{5^{2}})×…×(1-\frac{1}{99^{2}})×(1-\frac{1}{100^{2}})$。

答案：
(1)3/4
(2)2/3
(3)5/8
(4)原式=1/2×3/2×2/3×4/3×3/4×5/4×4/5×6/5×…×98/99×100/99×99/100×101/100=1/2×101/100=101/200.

14. [阅读材料]我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等。
分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法。如：$ax+by+bx+ay= (ax+bx)+(ay+by)= x(a+b)+y(a+b)= (a+b)(x+y)$。
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法。如：$x^{2}+2x-3= x^{2}+2x+1-4= (x+1)^{2}-2^{2}= (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1)$。
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-4a-b^{2}+4$；
(2)分解因式：$x^{2}-6x-7$；
(3)若$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c满足a^{2}-ab-ac+bc= 0$,试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 解:
(1)a²-4a-b²+4=a²-4a+4-b²=(a-2)²-b²=(a+b-2)(a-b-2).
(2)x²-6x-7=x²-7x+x-7=x(x-7)+(x-7)=(x-7)(x+1).
(3)
∵a²-ab-ac+bc=0,
∴a(a-b)-c(a-b)=0,
∴(a-b)(a-c)=0,
∴a-b=0或a-c=0,
∴a=b或a=c,
∴△ABC是等腰三角形.

1. (广西壮族自治区)如果$a+b= 3$,$ab= 1$,那么$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$值为( )

A.$0$
B.$1$
C.$4$
D.$9$

答案： D

2. (山东省四市)因式分解：$x^{2}y+2xy= $______。

答案： xy(x+2)

3. (北京市)分解因式：$x^{3}-25x= $______。

答案： x(x+5)(x-5)

4. (泰安市)分解因式：$9x^{3}-18x^{2}+9x= $______。

答案： 9x(x-1)²

5. (成都市)已知$a= 7-3b$,则代数式$a^{2}+6ab+9b^{2}$的值为______。

答案： 49

6. (莱芜市)已知$m+n= 3$,$m-n= 2$,则$m^{2}-n^{2}= $______。

答案： 6