《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

【例 1】如图 14 - 1,在 $ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,将 $\triangle ABC$ 绕顶点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$后得到 $\triangle AB'C'$,则 $\angle BAC'$ 等于( )

A.$60^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
思路分析：由图形的旋转性质,知 $\triangle ABC\cong\triangle AB'C'$,$\therefore\angle BAC = \angle B'AC'$。$\because\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,$\therefore\angle BAC = 45^{\circ}$,$\therefore\angle B'AC' = 45^{\circ}$。由题意,知 $\angle BAB'$ 为旋转角,$\therefore\angle BAB' = 60^{\circ}$,$\therefore\angle BAC' = \angle BAB' + \angle B'AC' = 60^{\circ} + 45^{\circ} = 105^{\circ}$。
答案：B

答案： B

【例 2】如图 14 - 2,已知 $CD = AB$,$\angle BAD = \angle BDA$,$AE$ 是 $\triangle ABD$ 的中线。求证 $AC = 2AE$。
思路分析：利用“倍长中线法”构造全等三角形,将中线延长一倍,然后利用“SAS”判定三角形全等。
证明：延长 $AE$ 至点 $F$,使 $EF = AE$,连接 $BF$。
$\because AE$ 是 $\triangle ABD$ 的中线,$\therefore BE = DE$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle FBE$ 中,$\begin{cases}AE = FE,\\\angle AED = \angle FEB,\\DE = BE,\end{cases} $
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle FBE(SAS)$。
$\therefore BF = DA$,$\angle FBE = \angle ADE$。
$\because\angle BAD = \angle BDA$,
$\therefore\angle ABF = \angle ABD + \angle FBE = \angle ABD + \angle ADB = \angle ABD + \angle BAD = \angle ADC$。
在 $\triangle ABF$ 和 $\triangle CDA$ 中,$\begin{cases}AB = CD,\\\angle ABF = \angle CDA,\\BF = DA,\end{cases} $
$\therefore\triangle ABF\cong\triangle CDA(SAS)$。$\therefore AC = AF$。
$\because AF = 2AE$,$\therefore AC = 2AE$。

答案： 答题卡：
证明：
延长 $AE$ 至点 $F$，使 $EF = AE$，连接 $BF$。
$\because AE$ 是 $\triangle ABD$ 的中线，
$\therefore BE = DE$，
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle FBE$ 中，
$\begin{cases}AE = FE, \\\angle AED = \angle FEB, \\ DE = BE. \end{cases}$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle FBE \quad (SAS)$，
$\therefore BF = DA$，$\angle FBE = \angle ADE$，
$\because \angle BAD = \angle BDA$，
$\therefore \angle ABF = \angle ABD + \angle FBE$
$= \angle ABD + \angle ADE $
$= \angle ABD + \angle BAD $
$= \angle ADC$
在 $\triangle ABF$ 和 $\triangle CDA$ 中，
$\begin{cases}AB = CD, \\\angle ABF = \angle CDA, \\BF = DA.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle CDA \quad (SAS)$，
$\therefore AC = AF$，
$\because AF = 2AE$，
$\therefore AC = 2AE$。

【例 3】如图 14 - 3,$P$ 为定角 $\angle AOB$ 的平分线上的一个定点,且 $\angle MPN$ 与 $\angle AOB$ 互补。若 $\angle MPN$ 在绕点 $P$ 旋转的过程中,其两边分别与 $OA$,$OB$ 相交于 $M$,$N$ 两点。
(1) 求证 $PM = PN$。
(2) $OM + ON$ 的值是否发生变化？请说明理由。
(3) 四边形 $PMON$ 的面积是否发生变化？请说明理由。
思路分析：利用角平分线和截长补短法构造全等三角形,因为角平分线本身已经具备全等三角形的三个条件中的两个(角相等和公共边相等),在处理角平分线问题时,常作以下辅助线构造全等三角形：
(1) 在角的两边截取两条相等的线段；
(2) 过角平分线上的一点作角两边的垂线段。
(1) 证明：过点 $P$ 分别作 $PE\perp OA$ 于点 $E$,$PF\perp OB$ 于点 $F$。

$\therefore\angle PEO = \angle PFO = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle OPE + \angle EOP = 90^{\circ}$,
$\angle OPF + \angle FOP = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle OPE + \angle OPF + \angle EOP + \angle FOP = 180^{\circ}$,
即 $\angle EPF + \angle AOB = 180^{\circ}$。
$\because\angle MPN + \angle AOB = 180^{\circ}$,
$\therefore\angle EPF = \angle MPN$。$\therefore\angle EPM = \angle FPN$。
$\because OP$ 平分 $\angle AOB$,$PE\perp OA$,$PF\perp OB$,
$\therefore PE = PF$。
在 $\triangle PEM$ 和 $\triangle PFN$ 中,$\begin{cases}\angle EPM = \angle FPN,\\PE = PF,\\\angle PEM = \angle PFN,\end{cases} $
$\therefore\triangle PEM\cong\triangle PFN(ASA)$。$\therefore PM = PN$。
(2) 解：$OM + ON$ 的值不变。
理由：$\because\triangle PEM\cong\triangle PFN$,$\therefore ME = NF$。
易证 $\triangle EPO\cong\triangle FPO$,$\therefore OE = OF$。
$\therefore OM + ON = OE + EM + ON = OE + NF + ON = OE + OF = 2OE = $ 定值。
(3) 解：四边形 $PMON$ 的面积不变。
理由：$\because\triangle PEM\cong\triangle PFN$,
$\therefore S_{\triangle PEM} = S_{\triangle PFN}$。
$\therefore S_{四边形 PMON} = S_{四边形 PEOF} = $ 定值。

答案：
(1) 证明：过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF。
∵∠EPF+∠AOB=180°，∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN。
∴∠EPF-∠EPN=∠MPN-∠EPN，即∠EPM=∠FPN。
在△PEM和△PFN中，
$\begin{cases}∠EPM=∠FPN, \\ PE=PF, \\ ∠PEM=∠PFN,\end{cases}$
∴△PEM≌△PFN(ASA)。
∴PM=PN。
(2) 解：OM+ON的值不变。
理由：
∵△PEM≌△PFN，
∴ME=NF。
∵PE=PF，OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°，
∴△EPO≌△FPO(HL)。
∴OE=OF。
∴OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ON=OE+OF=2OE（定值）。
(3) 解：四边形PMON的面积不变。
理由：
∵△PEM≌△PFN，
∴S_△PEM=S_△PFN。
∴S_{四边形PMON}=S_{四边形PEOF}+S_△PEM-S_△PFN=S_{四边形PEOF}（定值）。