《2025年三维数字课堂八年级数学上册人教版》

14. 如图 14 - 17,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 在 $BC$ 边上,$\angle BAD = 100^{\circ}$,$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$,过点 $E$ 作 $EF\perp AB$,垂足为 $F$,且 $\angle AEF = 50^{\circ}$,连接 $DE$。
(1) 求 $\angle DAE$ 的度数；
(2) 求证：$DE$ 平分 $\angle ADC$。

答案：
(1)解:
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=90°,
∴∠EAF=90°−∠AEF=90°−50°=40°,
∵∠BAD=100°,
∴∠DAE=180°−100°−40°=40°.
(2)证明:如图，过点E分别作EM⊥AD 于点M,EN⊥BC于点N.
∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,EN⊥BC,
∴EF=EN,
∵∠EAF=∠DAE=40°,
∴AE平分∠DAF.
　　又
∵EF⊥AF,EM⊥AD,
∴EF=EM,
∴EM=EN.
∵EM⊥AD,EN⊥CD,
∴DE平分∠ADC.

15. (1) 如图 14 - 18①,已知在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,直线 $m$ 经过点 $A$,$BD\perp$ 直线 $m$,$CE\perp$ 直线 $m$,垂足分别为 $D$,$E$。求证 $DE = BD + CE$。
(2) 如图 14 - 18②,将(1)中的条件改为：在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$,$A$,$E$ 三点都在直线 $m$ 上,并且 $\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha$,其中 $\alpha$ 为任意锐角或钝角。则结论 $DE = BD + CE$ 是否仍然成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由。

答案：
(1)证明:
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠ADB=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
　　在△ADB和△CEA中,
$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠ADB=∠CEA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)解:仍然成立.证明如下:
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°−α,
∴∠DBA=∠EAC.
　　在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠DBA=∠EAC,\\∠ADB=∠CEA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.

1. (北京市)下面是“作一个角使其等于 $\angle AOB$”的尺规作图方法。
(1) 如图 14 - 19,以点 $O$ 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 $OA$,$OB$ 于点 $C$,$D$；

(2) 作射线 $O'A'$,以点 $O'$ 为圆心,$OC$ 长为半径画弧,交 $O'A'$ 于点 $C'$；以点 $C'$ 为圆心,$CD$ 长为半径画弧,两弧交于点 $D'$；
(3) 过点 $D'$ 作射线 $O'B'$,则 $\angle A'O'B' = \angle AOB$。
上述方法通过判定 $\triangle C'O'D'\cong\triangle COD$,得到 $\angle A'O'B' = \angle AOB$,其中判定 $\triangle C'O'D'\cong\triangle COD$ 的依据是( )
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

答案： A