《2025年全效学习同步学练测七年级数学上册湘教版》

6. [2023 内蒙古]某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分. 某队在 12 场比赛中得 20 分. 设该队胜$x$场，负$y$场，根据题意，列出关于$x$，$y$的二元一次方程组正确的是(D)

A.$\begin{cases}x + y = 20,\\x + 2y = 12\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 12,\\x + 2y = 20\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 20,\\2x + y = 12\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 12,\\2x + y = 20\end{cases}$

答案： 6. D

易错点 忽略隐含条件导致错误
7. 若方程$3x^{|a|-1}+(a - 2)y = 1$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$a=$-2.

答案： 7. -2

8. 甲、乙两人共同解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15,①\\4x - by = - 2.②\end{cases}$由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 10;\end{cases}$乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 4.\end{cases}$试计算$a^{2024}+(-b)^{2025}$的值.

答案： $8. a^{2024} + (-b)^{2025} = 0$

9. 【应用意识】某货运公司有$A$，$B$两种型号的货车，用 2 辆$A$型车和 1 辆$B$型车装满货物一次可运货 10 t；用 1 辆$A$型车和 2 辆$B$型车装满货物一次可运货 11 t. 某物流公司现有 31 t 货物，计划同时租用$A$型车和$B$型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物. 设 1 辆$A$型车和 1 辆$B$型车都装满货物时分别可运货$x$ t，$y$ t.
(1)根据题意列出关于$x$，$y$的二元一次方程组；
(2)请判断$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$是否为问题(1)中所列二元一次方程组的解，如果是，请说出解的意义；
(3)请帮该物流公司设计可行的租车方案.

答案： 1. （1）
解：根据“用$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车装满货物一次可运货$10t$”，可得$2x + y=10$；
根据“用$1$辆$A$型车和$2$辆$B$型车装满货物一次可运货$11t$”，可得$x + 2y=11$。
所以关于$x$，$y$的二元一次方程组为$\begin{cases}2x + y = 10\\x + 2y = 11\end{cases}$。
2. （2）
把$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}2x + y = 10\\x + 2y = 11\end{cases}$中：
对于方程$2x + y$，当$x = 3$，$y = 4$时，$2×3 + 4=6 + 4 = 10$；
对于方程$x + 2y$，当$x = 3$，$y = 4$时，$3+2×4=3 + 8 = 11$。
所以$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x + y = 10\\x + 2y = 11\end{cases}$的解。
解的意义：$1$辆$A$型车装满货物时可运货$3t$，$1$辆$B$型车装满货物时可运货$4t$。
3. （3）
设租用$A$型车$m$辆，$B$型车$n$辆。
由（2）知$x = 3$，$y = 4$，根据货物有$31t$，可得$3m + 4n=31$，则$m=\frac{31 - 4n}{3}$。
因为$m$，$n$均为正整数：
当$n = 1$时，$m=\frac{31 - 4×1}{3}=\frac{27}{3}=9$；
当$n = 4$时，$m=\frac{31 - 4×4}{3}=\frac{31 - 16}{3}=5$；
当$n = 7$时，$m=\frac{31 - 4×7}{3}=\frac{31 - 28}{3}=1$。
所以租车方案有三种：
方案一：租用$A$型车$9$辆，$B$型车$1$辆；
方案二：租用$A$型车$5$辆，$B$型车$4$辆；
方案三：租用$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆。