《2025年全效学习同步学练测七年级数学上册湘教版》

一、数式规律探究题
教材母题（教材 P70 习题 2.1 第 4 题）
测得一根弹簧的长度 $ l $ 与所挂物体质量 $ m $ 的关系如下表所示（重物不超过 $ 20 \mathrm{kg} $ 时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）：

请完成上表。
【思想方法】解答这类规律探究题时，应从简单的特殊情形入手，根据每个式子中数的变化特征去寻找一般性的规律。

答案： 6+0.5a

变形$ 1 $有一个多项式为$ -a + 2a^{2} - 3a^{3} + 4a^{4} - 5a^{5} + \cdots ，$按照这样的规律写下去，第$ 2026 $项为　　$2026a^{2026}$　　，第$ n $项为　　$(-1)^n·na^n$　　。　　

答案： $2026a^{2026}　(-1)^n·na^n$

变形 2 [2025 浙江模拟]观察下列等式：
第 $ 1 $ 个等式：$ \frac{3}{2} × 3 = \frac{3}{2} + 3 $；
第 $ 2 $ 个等式：$ \frac{4}{3} × 4 = \frac{4}{3} + 4 $；
第 $ 3 $ 个等式：$ \frac{5}{4} × 5 = \frac{5}{4} + 5 $；
$ \cdots $
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 $ 4 $ 个等式：$\frac{6}{5}$×6=$\frac{6}{5}$+6；
(2)写出你猜想的第 $ n $ 个等式（用含 $ n $ 的式子表示），并验证。

答案：
(1)$\frac{6}{5}$×6=$\frac{6}{5}$+6
(2)$\frac{n+2}{n+1}$×(n+2)=$\frac{n+2}{n+1}$+(n+2),验证略

二、图形规律探究题
教材母题（教材 P67 做一做）
观察下图，并完成下表：

答案： 3　21　(m−1)　5m+1

变形 3 [2024 西安模拟]用木棒按如图所示的规律摆放图形，第 $ 1 $ 个图形需要 $ 6 $ 根木棒，第 $ 2 $ 个图形需要 $ 11 $ 根木棒，第 $ 3 $ 个图形需要 $ 16 $ 根木棒，$ \cdots $，按这种方式摆放下去，用含 $ n $ 的代数式表示第 $ n $ 个图形需要木棒的根数为(B)

A.$ 6n $
B.$ 5n + 1 $
C.$ 5n - 1 $
D.$ 4n + 2 $

答案： B

变形 4 [2023 云南模拟]用棋子摆出如图所示的一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第 $ n $ 个“口”字需用棋子(A)


A.$ 4n $ 枚
B.$ (4n - 4) $ 枚
C.$ (4n + 4) $ 枚
D.$ n^{2} $ 枚

答案： A