《2025年全效学习同步学练测七年级数学上册湘教版》

8. 计算：
（1）$(-2)^{3}×(-3)^{2}$；
（2）$-6^{2}×(-\frac{1}{3})^{3}$.

答案： 8.
(1)$-72$
(2)$\frac{4}{3}$

9. $[2024$四川模拟$]$下列各对数中，数值相等的数是(D)

A.$-|2^{3}|$与$|-2^{3}|$
B.$-3^{2}$与$(-3)^{2}$
C.$(\frac{2}{3})^{3}$与$\frac{2^{3}}{3}$
D.$-2^{3}$与$(-2)^{3}$

答案： 9.D

10. 阅读材料：如果$a^{b}=N(a＞0$，且$a\neq1)$，那么数$b$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$b=\log_{a}N$.例如$2^{3}=8$，则$\log_{2}8=3$.根据材料填空：$\log_{4}64=$3.

答案： 10.$3$

11. 现定义某种运算“$\otimes$”，对任意两个有理数$a$，$b$，有$a\otimes b=a^{b}$，例如$(-3)\otimes2=(-3)^{2}=9$，求$(-1)\otimes(2\otimes3)$的值.

答案： 11.$1$

12. 为了求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{100}$的值，可令$S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{100}$，则$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \cdots + 2^{101}$，因此$2S - S = 2^{101} - 1$，所以$S = 2^{101} - 1$，即$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{100} = 2^{101} - 1$.仿照以上方法计算$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \cdots + 3^{2025}$的值.

答案： 12.$1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2025}=\frac{3^{2026}-1}{2}$

13. 【运算能力】（1）算一算：
$(3×5)^{2}$与$3^{2}×5^{2}$；
$[(-2)×3]^{2}$与$(-2)^{2}×3^{2}$.
每组两个算式的结果是否相同？
（2）想一想：$(ab)^{3}$等于什么？
（3）猜一猜：当$n$为正整数时，$(ab)^{n}$等于什么？你能利用乘方的意义说明理由吗？
（4）利用上述结论，求$(-8)^{2026}×(0.125)^{2025}$的值.

答案： 1. （1）
计算$(3×5)^{2}$与$3^{2}×5^{2}$：
解：
对于$(3×5)^{2}$，根据先算括号内再算乘方，$(3×5)^{2}=15^{2}=225$。
对于$3^{2}×5^{2}$，$3^{2}=9$，$5^{2}=25$，则$3^{2}×5^{2}=9×25 = 225$。
计算$[(-2)×3]^{2}$与$(-2)^{2}×3^{2}$：
对于$[(-2)×3]^{2}=(-6)^{2}=36$。
对于$(-2)^{2}×3^{2}$，$(-2)^{2}=4$，$3^{2}=9$，则$(-2)^{2}×3^{2}=4×9 = 36$。
所以每组两个算式的结果相同。
2. （2）
解：
根据$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$为正整数），当$n = 3$时，$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$。
3. （3）
解：
当$n$为正整数时，$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$。
理由：根据乘方的意义，$(ab)^{n}=\underbrace{(ab)×(ab)×\cdots×(ab)}_{n个ab}$。
根据乘法交换律和结合律$\underbrace{(ab)×(ab)×\cdots×(ab)}_{n个ab}=\underbrace{(a× a×\cdots× a)}_{n个a}×\underbrace{(b× b×\cdots× b)}_{n个b}=a^{n}b^{n}$。
4. （4）
解：
对于$(-8)^{2026}×(0.125)^{2025}$，将$(-8)^{2026}$变形为$(-8)^{2025}×(-8)$。
则$(-8)^{2026}×(0.125)^{2025}=(-8)^{2025}×(-8)×(0.125)^{2025}$。
根据$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，这里$a=-8$，$b = 0.125$，$n = 2025$，则$(-8)^{2025}×(0.125)^{2025}=[(-8)×0.125]^{2025}$。
因为$(-8)×0.125=-1$，所以$[(-8)×0.125]^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
那么$(-8)^{2026}×(0.125)^{2025}=(-1)×(-8)=8$。
综上，（1）每组结果相同；（2）$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$；（3）$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$；（4）值为$8$。