《2025年全效学习同步学练测七年级数学上册湘教版》

$4. $如图$①，$已知$ \angle AOB $内部有三条射线$ OE，$$OC，$$OF，$$OE $平分$ \angle BOC，$$OF $平分$ \angle AOC。$　　

$(1)$若$ \angle AOC = 30^{\circ}，$$\angle BOC = 60^{\circ}，$则$ \angle EOF =$　　$45°$　　；　　
$(2)$若$ \angle AOC = \alpha，$$\angle BOC = \beta，$则$ \angle EOF =$　　$\frac{α+β}{2}$　　；　　
$(3)$若$ \angle AOB = \theta，$请猜想$ \angle EOF $的度数与$ \theta $的关系，并说明理由；　　
$(4)$若$ \angle EOF = \gamma，$求$ \angle AOB $的度数；　　
$(5)$若射线$ OC $在$ \angle AOB $的外部如图$②$所示位置，且$ \angle AOB = \theta，$$OE $平分$ \angle BOC，$$OF $平分$ \angle AOC，$则上述$(3)$中的结论是否成立，请说明理由。　　

答案： 1. （3）
解：因为$OE$平分$\angle BOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC$；因为$OF$平分$\angle AOC$，所以$\angle FOC = \frac{1}{2}\angle AOC$。
又因为$\angle EOF=\angle EOC+\angle FOC$，$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=\theta$。
所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle BOC+\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC)=\frac{1}{2}\theta$。
2. （4）
解：由（3）知$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle AOB$，因为$\angle EOF = \gamma$，所以$\angle AOB = 2\gamma$。
3. （5）
解：因为$OE$平分$\angle BOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC$；因为$OF$平分$\angle AOC$，所以$\angle FOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
则$\angle EOF=\angle FOC-\angle EOC$。
又因为$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=\theta$。
所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle AOC-\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC - \angle BOC)=\frac{1}{2}\theta$，结论成立。

5. 如图，已知 $\angle AOB$ 的内部有顺次的四条射线 $OE$，$OC$，$OD$，$OF$，且 $OE$ 平分 $\angle AOC$，$OF$ 平分 $\angle BOD$。
(1)若 $\angle AOB = 160^{\circ}$，$\angle COD = 40^{\circ}$，则 $\angle EOF =$100°；
(2)若 $\angle AOB = \alpha$，$\angle COD = \beta$，求 $\angle EOF$ 的度数(用含 $\alpha$，$\beta$ 的式子表示)。

答案： $5.(1)100° (2)∠EOF=\frac{1}{2}(α+β)$