《2025年全效学习同步学练测七年级数学上册湘教版》

4. 如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，点 $ M $，$ N $ 分别是 $ AC $，$ BC $ 的中点.
(1)若 $ AC = 9 \mathrm{cm} $，$ CB = 6 \mathrm{cm} $，则线段 $ MN $ 的长为 $ \mathrm{cm} $.
(2)若 $ AC = a \mathrm{cm} $，$ CB = b \mathrm{cm} $，则线段 $ MN $ 的长为 $ \mathrm{cm} $.
(3)若 $ AB = m \mathrm{cm} $，求线段 $ MN $ 的长度.
(4)若点 $ C $ 为线段 $ AB $ 上任意一点，且 $ AB = n \mathrm{cm} $，其他条件不变，你能猜想 $ MN $ 的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.
(5)若 $ MN = k \mathrm{cm} $，求线段 $ AB $ 的长.
(6)若将题中的“点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上”改为“点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的延长线上”，其他条件不变，(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.

答案：
1. （1）
因为点$M$是$AC$的中点，$AC = 9cm$，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9 = 4.5cm$；
因为点$N$是$BC$的中点，$CB = 6cm$，所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6 = 3cm$；
则$MN=MC + CN=4.5 + 3=7.5cm$。
2. （2）
因为点$M$是$AC$的中点，$AC = a cm$，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a cm$；
因为点$N$是$BC$的中点，$CB = b cm$，所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}b cm$；
则$MN=MC + CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a + b)cm$。
3. （3）
解：因为点$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为点$N$是$BC$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；
又因为$MN=MC + CN$，$AB=AC + BC$，所以$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC + BC)$；
已知$AB = m cm$，即$AC + BC=m$，所以$MN=\frac{1}{2}m cm$。
4. （4）
猜想$MN=\frac{1}{2}n cm$。
结论：若点$C$为线段$AB$上任意一点，$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN$的长等于$AB$长的一半。
5. （5）
解：由（3）可知$MN=\frac{1}{2}AB$，已知$MN = k cm$，所以$AB = 2k cm$。
6. （6）解：$MN=\frac{m}{2}cm$成立。当点$C$在线段$AB$的延长线上时，如图

因为点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$。
又因为$MN=MC-CN$，所以$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{m}{2}cm$。

5. [2023 化州模拟]如图，$ C $ 为线段 $ AD $ 上一点，点 $ B $ 为 $ CD $ 的中点，且 $ AD = 9 \mathrm{cm} $，$ BD = 2 \mathrm{cm} $.
(1)求 $ AC $ 的长.
(2)若点 $ E $ 在直线 $ AD $ 上，且 $ EA = 3 \mathrm{cm} $，求 $ BE $ 的长.

答案： 5.
(1)AC的长为 5 cm
(2)BE的长为 4 cm或10 cm

6. 如图，数轴上 $ A $，$ B $ 两点对应的有理数分别为 $ 10 $ 和 $ 15 $，点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 $ Q $ 同时从原点 $ O $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 $ t \mathrm{s} $.
(1)当 $ 0 ＜ t ＜ 5 $ 时，用含 $ t $ 的式子填空：$ BP = $ ，$ AQ = $ ；
(2)当 $ t = 2 $ 时，求 $ PQ $ 的长；
(3)当 $ PQ = \dfrac{1}{2}AB $ 时，求 $ t $ 的值.

答案： 6.
(1)5-t 10-2t
(2)PQ=8
(3)t=7.5或t=12.5