《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

11 (2024·无锡锡山区期末)如图,点B,O,D在同一直线上,$∠AOC= 90^{\circ }$,若$∠1= 23^{\circ }$,则$∠2$的度数为(A)。

A.$113^{\circ }$
B.$107^{\circ }$
C.$67^{\circ }$
D.$157^{\circ }$

答案： A

12 (2025·天津南开区期末)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,$∠α与∠β$互余的是(A)。

答案： A

13 如图,将长方形纸片进行折叠,ED,EF为折痕,点A与$A'$,点B与$B'$,点C与$C'$重合,若$∠AED= 25^{\circ }$,则$∠BEF$的度数为65°。

答案： 65°

14 (2025·安徽合肥瑶海区期末)一个角的补角比它的余角的3倍少$20^{\circ }$,求这个角的度数。

答案： 设这个角为x度，依题意，得
180-x=3(90-x)-20，
解得x=35.
故这个角的度数是35°.

15 从点O按顺时针方向依次引出四条射线OA,OB,OC,OD,其中$∠AOC= ∠BOD= 90^{\circ }$。
(1)若$∠BOC= 35^{\circ }$,求$∠AOB$,$∠COD$的大小；
(2)若$∠BOC= 40^{\circ }$,求$∠AOB$,$∠COD$的大小；
(3)由(1)(2),试判断$∠AOB与∠COD$的大小关系,并说明理由。

答案：
(1)∠AOB=55°，∠COD=55°.
(2)∠AOB=50°，∠COD=50°.
(3)∠AOB=∠COD.理由如下：
因为∠AOB+∠BOC=∠AOC=90°，∠COD+∠BOC=∠BOD=90°，所以∠AOB=∠COD.

16 分类讨论思想 中考新考法 新定义问题 若两个角的差的绝对值等于$90^{\circ }$,则称这两个角互为“垂角”。例如：$∠1= 120^{\circ }$,$∠2= 30^{\circ }$,$|∠1-∠2|= 90^{\circ }$,则$∠1与∠2$互为“垂角”(本题中所有角都是指大于$0^{\circ }且小于180^{\circ }$的角)。
(1)已知一个角比它的“垂角”的$\frac {1}{2}少20^{\circ }$,求这个角的度数。
(2)如图所示,$∠AOB= 120^{\circ }$,$∠BOC= 45^{\circ }$,是否存在射线OD,使得$∠AOD与∠COD$互为“垂角”？若存在,直接写出$∠BOD$的度数；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)设这个角为x°，则其垂角为(x±90)°.
当x=$\frac{1}{2}$(x+90)-20时，解得x=50；
当x=$\frac{1}{2}$(x-90)-20时，解得x=-130(舍去)，
∴x=50.故这个角的度数为50°.
(2)存在.∠BOD的度数为7.5°或82.5°或97.5°.
分两种情况：
→不明确OD的位置时，需分类讨论
①OD在∠AOC的内部时，
有$\begin{cases} |∠AOD-∠COD|=90°, \\ ∠AOD+∠COD=120°+45°, \end{cases}$
解得∠COD=37.5°或∠COD=127.5°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=45°-37.5°=7.5°，
或∠BOD=∠COD-∠BOC=127.5°-45°=82.5°；
②OD在∠AOC的外部时，
$\begin{cases} |∠AOD-∠COD|=90°, \\ ∠AOD+∠COD=360°-120°-45°=195°, \end{cases}$
解得∠COD=52.5°或∠COD=142.5°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=45°+52.5°=97.5°，
或∠BOD=∠BOC+∠COD=45°+142.5°=187.5°＞180°(舍去).
故∠BOD的度数为7.5°或82.5°或97.5°.