《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 观察下列等式：$3^1 = 3$,$3^2 = 9$,$3^3 = 27$,$3^4 = 81$,$3^5 = 243$,…$$根据其中规律可得 $3^{2025}$ 的个位数字是3。

答案： 3 [解析]
∵3¹=3,3²=9,3³=27,3⁴=81,3⁵=243,…,
∴末尾数字每四个数一循环.又2025÷4=506……1,
∴3²⁰²⁵的个位数字是3.

(2025·江西赣州期中改编)观察下列算式：$2^1 = 2$,$2^2 = 4$,$2^3 = 8$,$2^4 = 16$,$2^5 = 32$,$2^6 = 64$,$2^7 = 128$,…$$。根据上式算式中的规律推测 $2^{2025}$ 的个位数字为(A)。
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： A [解析]由题知,2¹=2,2²=4,2³=8,2⁴=16,2⁵=32,2⁶=64,2⁷=128,…,所以从2¹开始,底数为2的乘方运算结果的个位数字按2,4,8,6循环.因为2025÷4=506……1,所以2²⁰²⁵的个位数字为2.故选A.

(实验班原创)计算 $7×17×27×37×47×…×247$ 结果的个位数字是(B)。
A.$8$
B.$7$
C.$6$
D.$5$

答案： B [解析]
∵7,7×7=49,7×7×7=343,7×7×7×7=2401,7×7×7×7×7=16807,…,1个7的个位数字为7,2个7相乘的个位数字为9,3个7相乘的个位数字为3,4个7相乘的个位数字为1,5个7相乘的个位数字为7,…,
∴个位数字是7的数相乘所得积的个位数字是以7,9,3,1为一个循环周期.
∴7×17×27×37×47×…×247的个位数字即为25个7相乘的个位数字.
∵25÷4=6……1,
∴7×17×27×37×47×…×247的积的个位数字是7.故选B.

(2025·山东滨州期中)计算：$3^1 + 1 = 4$,$3^2 + 1 = 10$,$3^3 + 1 = 28$,$3^4 + 1 = 82$,$3^5 + 1 = 244$,…$$,归纳计算结果,猜测 $3^{2023} + 1$ 的个位数字是(D)。
A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$8$

答案： D [解析]3¹+1=4,3²+1=10,3³+1=28,3⁴+1=82,3⁵+1=244,3⁶+1=730,3⁷+1=2188,3⁸+1=6562,…,由此可知,当n=4k-3(k为正整数)时,3ⁿ+1的个位数字为4;当n=4k-2时,3ⁿ+1的个位数字为0;当n=4k-1(k为整数)时,3ⁿ+1的个位数字为8;当n=4k(k为整数)时,3ⁿ+1的个位数字为2.
∵2023=506×4-1,
∴3²⁰²³+1的个位数字是8.满足n=4k-1故选D.

2 观察下面一行数：$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,$64$,…$$,则第 $n$ 个数为(-2)ⁿ。

答案： (-2)ⁿ [解析]观察这行数可知,后一个数总是前一个数的-2倍.因为第一个数为-2,所以第n个数可表示为(-2)ⁿ.

观察下列等式：
第 $1$ 层：$1 + 2 = 3$；
第 $2$ 层：$4 + 5 + 6 = 7 + 8$；
第 $3$ 层：$9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15$；
第 $4$ 层：$16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24$；
…$$,
在上述数字宝塔中,从上往下数,那么 $2025$ 在第45层。

答案： 45 [解析]
∵1+2=3,共有3个数;4+5+6=7+8,共有5个数;9+10+11+12=13+14+15,共有7个数;…,由此可知,每一层都有奇数个数,从第一层开始,到第n层结束共有3+5+7+…+(2n+1)=(n²+2n)个数.又因为44²+2×44＜2025＜45²+2×45,所以2025在第45层.

(2025·福建厦门同安区期末)学习完有理数的乘方后,老师提出了一个问题供同学们思考,请你写出思考后解答过程：
观察下列三行数：
$0$,$3$,$8$,$15$,$24$,…$$；①
$2$,$5$,$10$,$17$,$26$,…$$；②
$0$,$-6$,$-16$,$-30$,$-48$,…$$③
(1) 第①行数中的第 $7$ 个数是48。
(2) 第②行数中的第 $7$ 个数是50；第③行数中的第 $7$ 个数是-96。
(3) 取每行的第 $10$ 个数,计算这三个数的和。
取每行的第10个数,则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.

答案：
(1)48 [解析]
∵第①行数中的数是序数的平方与1的差,
∴第①行数中的第7个数是7²-1=48.
(2)50 -96 [解析]
∵第②行中的每个数是第①行中相应的数与2的和,第③行中的每个数等于第①行相应数乘-2,
∴第②行数中的第7个数是48+2=50,第③行数中的第7个数是-2×48=-96.
(3)取每行的第10个数,则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.