《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

解答等式规律探究题的关键是找到等式里每一个变化的数字与序号之间的对应关系.
2. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:
$ 15 × 15 = 1 × 2 × 100 + 25 = 225 $;
$ 25 × 25 = 2 × 3 × 100 + 25 = 625 $;
$ 35 × 35 = 3 × 4 × 100 + 25 = 1225 $;
…
请用含 a(a 为正整数)的式子表示上述的规律:(10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25.

答案： (10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25

变式 2.1 已知 $ 1 + \frac { 1 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 } = \frac { 2 ^ { 2 } } { 3 } $, $ 2 + \frac { 1 } { 4 } = \frac { 9 } { 4 } = \frac { 3 ^ { 2 } } { 4 } $, $ 3 + \frac { 1 } { 5 } = \frac { 16 } { 5 } = \frac { 4 ^ { 2 } } { 5 } $, $ 4 + \frac { 1 } { 6 } = \frac { 25 } { 6 } = \frac { 5 ^ { 2 } } { 6 } $. 设 n 为正整数,请用关于 n 的等式表示这个规律____$n+\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$.

答案： n+1/(n+2)=(n+1)²/(n+2) [解析]
∵1+1/3=4/3=2²/3,
2+1/4=9/4=3²/4,3+1/5=16/5=4²/5,4+1/6=25/6=5²/6,
∴n+1/(n+2)=(n+1)²/(n+2).
思路引导 本题考查了数字类规律探索,根据题干已有式子结构,用含n的等式表示出规律,正确掌握相关性质内容是解题的关键.

变式 2.2 裂项相消法 观察下面的变形规律:
$ \frac { 1 } { 1 × 2 } = 1 - \frac { 1 } { 2 } $;
$ \frac { 1 } { 2 × 3 } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } $;
$ \frac { 1 } { 3 × 4 } = \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } $;…
解答下面的问题:
(1)根据上述变化规律写出下面等号后面的式子:
$ \frac { 1 } { 4 × 5 } = $1/4-1/5; $ \frac { 1 } { 2024 × 2025 } = $1/2024-1/2025.
若 n 为正整数,猜想 $ \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = $1/n-1/(n+1).
(2)求值: $ \frac { 1 } { 1 × 2 } + \frac { 1 } { 2 × 3 } + \frac { 1 } { 3 × 4 } + … + \frac { 1 } { 2024 × 2025 } $.
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2024×2025)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2024-1/2025=1-1/2025=2024/2025.

答案：
(1)1/4-1/5 1/2024-1/2025 1/n-1/(n+1)
(2)1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2024×2025)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2024-1/2025=1-1/2025=2024/2025.
归纳总结 本题考查有理数的运算,数字类规律探究;发现数字变化的特点,利用类比的方法解题是关键.