《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 原创素养题几何直观 如图,已知线段$AB= 10cm$,点C,D是线段AB上两点,且$AC= BD= 8cm,$M,N分别是线段AC,AD的中点,求线段MN的长度.

答案：
∵AC=BD,
∴AB−AC=AB−BD,即BC=AD.
∵AB=10cm,AC=BD=8cm,
∴AD=10−8=2(cm).
∵M,N分别是线段AC,AD的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=1cm,AM=$\frac{1}{2}$AC=4cm,
∴MN=AM−AN=4−1=3(cm).

2 A,B,C,D四个车站的位置如图所示,B,C两站之间的距离$BC= 2a+b$,B,D两站之间的距离$BD= 4a+3b$.若C站到A,D两站的距离相等,则A,B两站之间的距离AB是多少?

答案： CD=BD−BC=(4a+3b)−(2a+b)=2a+2b,
AB=AC−BC=CD−BC=(2a+2b)−(2a+b)=b.
故A,B两站之间的距离AB是b.
关键提醒　本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型.

3 已知线段$AB= a$,在直线AB上取一点C,使得$BC= \frac {2}{3}AB$,若M,N分别为AB,BC的中点,则$MN= $____.(用含a的式子表示)

答案：
$\frac{1}{6}$a或$\frac{5}{6}$a　[解析]如图
(1),当点C在线段AB上时,
　　　　　　　　　　无法确定点C位置时,需分类讨论
　　　
∵线段AB,BC的中点分别是M,N,
∴BM=$\frac{1}{2}$AB,BN=$\frac{1}{2}$BC.
又AB=a,BC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$a,
∴BM=$\frac{1}{2}$a,BN=$\frac{1}{3}$a,
∴MN=BM−BN=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{6}$a;
如图
(2)，当点C在线段AB的延长线上时，
　　　
∵线段AB,BC的中点分别是M,N,
∴BM=$\frac{1}{2}$AB,BN=$\frac{1}{2}$BC.
∵AB=a,BC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$a,
∴BM=$\frac{1}{2}$a,BN=$\frac{1}{3}$a,
∴MN=BM+BN=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{3}$a=$\frac{5}{6}$a.
综上所述,MN=$\frac{1}{6}$a或$\frac{5}{6}$a.

4 如图,数轴上点A,B分别表示数a,b,其中$a＜0,b＞0.$
(1)当$a= -3,b= 7$时,线段AB的中点表示的数是2;
(2)若数轴上另有一点M表示数3.
①若点M在线段AB上,且$AM= 2BM$,求式子$a+2b+2025$的值;∵AM=2BM,∴3−a=2(b−3),∴a+2b=9,∴a+2b+2025=9+2025=2034.
②点P为线段AB上一动点,点Q为线段OM上一动点,当$b= a+6$时,线段PQ的最大长度为5,求a的值.∵b=a+6,即b−a=6,∴AB=b−a=6.当点M在线段AB上时，∵OM=3,点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点，∴PQ的最大值为3−a=5或b−0=5,解得a =−2或b=5,当b=5时,即a+6=5,解得a =−1;当点M在OB延长线上时，PQ的最大值为AB+BM＞5,不符合题意，舍去.综上所述,a=−1或a=−2.

答案：
(1)2
(2)①
∵AM=2BM,
∴3−a=2(b−3),
∴a+2b=9,
∴a+2b+2025=9+2025=2034.
②
∵b=a+6,即b−a=6,
∴AB=b−a=6.
当点M在线段AB上时，
∵OM=3,点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点，
∴PQ的最大值为3−a=5或b−0=5,
解得a =−2或b=5,当b=5时,即a+6=5,解得a =−1;
当点M在OB延长线上时，PQ的最大值为AB+BM＞5,不符合题意，舍去.
综上所述,a=−1或a=−2.

(1)设线段BD的长为x,则线段$AB=$$\frac{23−x}{3}$.(用含x的代数式表示).
(2)若线段AC,BD的长度都是正整数,则线段AC的长为3.

答案：
(1)$\frac{23−x}{3}$
(2)3　[解析]
∵线段AC,BD的长度都是正整数，AC=$\frac{23−7x}{3}$＞0,
∴0＜x＜3$\frac{2}{7}$,
∴x=1或2或3,当x=1时,$\frac{23−7x}{3}$=$\frac{16}{3}$，不是整数，舍去;当x=2时,$\frac{23−7x}{3}$=$\frac{23−14}{3}$=3,符合题意;
当x=3时,$\frac{23−7x}{3}$=$\frac{23−21}{3}$=$\frac{2}{3}$,不是整数，舍去.
∴AC的长为3.

6 已知线段AB上有若干个不重合的点,求出该线段上任意两点所决定的线段长度(包括线段AB),并记所有这些线段的长度总和为$α_{AB}$.例如:图(1)中,$AB= 12$,C为AB的中点,则$α_{AB}= AB+AC+CB= 12+6+6= 24.$
(1)如图(2),线段AB上有C,D两点,其中$AB= 12,AC:CD:DB= 1:2:3$,求$α_{AB}$;
(2)如图(3),线段AB上有C,D,E三点,其中C为AB的中点,E为DB的中点,且$CE= 4,$$α_{AB}= 64$,求AB的长度;
(3)线段AB上有C,D两点,线段上任意两点所决定的线段长度是整数,若$α_{AB}= 38$,且CD的长度为奇数,直接写出AB的长度.

答案：
(1)
∵AB=12,AC:CD:DB=1:2:3,
∴AC=2,CD=4,DB=6,
∴AD=AC+CD=2+4=6,
BC=CD+BD=4+6=10,
∴$\alpha_{AB}$=AC+CD+DB+AD+CB+AB=2+4+6+6+10+12=40.
(2)设BE=x.
∵E是DB的中点，
∴DE=EB=x,
∴DB=2x,CD=CE−DE=4−x.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC=CD+DE+EB=(4−x)+x+x=4+x,
∴AB=2AC=8+2x,AD=AC+CD=(4+x)+(4−x)=8,
∴AE=AD+DE=8+x.
∵$\alpha_{AB}$=64,
∴AC+CD+DE+EB+AD+AE+AB+CE+CB+DB=64,
即(4+x)+(4−x)+x+x+8+(8+x)+(8+2x)+4+(4+x)+2x=64,解得x=3,
∴AB=8+2x=14.
(3)
∵$\alpha_{AB}$=38,
∴AC+CD+DB+AD+AB+CB=38,
即3AB+CD=38,
∴AB=$\frac{38−CD}{3}$.
∵CD的长是奇数，AB的长为正整数，
∴CD=5,11,17,23,29,35.
∵CD＜AB,
∴满足条件的有CD=5,
∴AB=11.